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Contents/08.Graph/04.Graph-Shortest-Path/08.Graph-System-Of-Difference-Constraints.md

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+## 1.1 差分约束系统简介
+
+> **差分约束系统（System of Difference Constraints）**：一种特殊的线性规划问题，其中每个约束条件都是形如 $x_i - x_j \leq c$ 的不等式。这类问题可以通过图论中的最短路径算法来求解。
+
+## 1.2 问题形式
+
+给定一组形如 $x_i - x_j \leq c$ 的约束条件，其中：
+
+- $x_i, x_j$ 是变量。
+- $c$ 是常数。
+
+我们的目标是找到一组满足所有约束条件的变量值。
+
+## 1.3 图论建模
+
+差分约束系统可以转化为有向图问题：
+
+1. 将每个变量 $x_i$ 看作图中的一个顶点。
+2. 对于约束 $x_i - x_j \leq c$，添加一条从 $j$ 到 $i$ 的边，权重为 $c$。
+3. 添加一个虚拟源点 $s$，向所有顶点连一条权重为 $0$ 的边。
+
+## 1.4 求解方法
+
+1. **Bellman-Ford 算法**：
+   - 如果图中存在负环，则无解。
+   - 否则，从源点到各点的最短路径长度即为对应变量的解。
+
+2. **SPFA 算法**：
+   - 队列优化的 Bellman-Ford 算法。
+   - 适用于稀疏图。
+
+## 1.5 应用场景
+
+1. 任务调度问题
+2. 区间约束问题
+3. 资源分配问题
+4. 时间序列分析
+
+## 1.6 代码实现
+
+```python
+def solve_difference_constraints(n, constraints):
+    # 构建图
+    graph = [[] for _ in range(n + 1)]
+    for i, j, c in constraints:
+        graph[j].append((i, c))
+    
+    # 添加虚拟源点
+    for i in range(n):
+        graph[n].append((i, 0))
+    
+    # Bellman-Ford 算法
+    dist = [float('inf')] * (n + 1)
+    dist[n] = 0
+    
+    # 松弛操作
+    for _ in range(n):
+        for u in range(n + 1):
+            for v, w in graph[u]:
+                if dist[u] + w < dist[v]:
+                    dist[v] = dist[u] + w
+    
+    # 检查负环
+    for u in range(n + 1):
+        for v, w in graph[u]:
+            if dist[u] + w < dist[v]:
+                return None  # 存在负环，无解
+    
+    return dist[:n]  # 返回前 n 个变量的解
+```
+
+## 1.7 算法复杂度
+
+- 时间复杂度：
+
+  - **Bellman-Ford 算法**：
+
+    - 最坏情况：$O(VE)$。
+
+    - 其中 $V$ 为顶点数，$E$ 为边数。
+
+    - 需要进行 $V-1$ 次松弛操作，每次操作遍历所有边。
+
+  - **SPFA 算法**：
+    - 平均情况：$O(kE)$，其中 $k$ 为每个点的平均入队次数。
+    - 最坏情况：$O(VE)$。
+    - 实际运行时间通常优于 Bellman-Ford 算法。
+  
+- 空间复杂度：
+
+  - **Bellman-Ford 算法**：
+
+    - $O(V + E)$
+
+    - 需要存储图结构：$O(V + E)$。
+
+    - 需要存储距离数组：$O(V)$。
+
+  - **SPFA 算法**：
+
+    - $O(V + E)$。
+
+    - 需要存储图结构：$O(V + E)$。
+
+    - 需要存储距离数组：$O(V)$。
+
+    - 需要存储队列：$O(V)$。
+
+### 1.8 优化建议
+
+1. 对于稀疏图，优先使用 SPFA 算法。
+2. 对于稠密图，可以考虑使用 Bellman-Ford 算法。
+3. 如果问题规模较大，可以考虑使用其他优化算法或启发式方法。
+
+### 1.9 注意事项
+
+1. 差分约束系统可能有多个解
+2. 如果存在负环，则无解
+3. 实际应用中需要注意数值精度问题
+4. 对于大规模问题，可以考虑使用其他优化算法