补充「图的最小生成树」相关内容

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Contents/08.Graph/03.Graph-Spanning-Tree/01.Graph-Minimum-Spanning-Tree.md

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 在了解「最小生成树」之前，我们需要要先理解 「生成树」的概念。
 
-> **图的生成树（Spanning Tree）**：如果无向连通图 G 的一个子图是一棵包含图 G 所有顶点的树，则称该子图为 G 的生成树。生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。图的生成树不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。
+> **生成树（Spanning Tree）**：如果无向连通图 G 的一个子图是一棵包含图 G 所有顶点的树，则称该子图为 G 的生成树。生成树是连通图的包含图中的所有顶点的极小连通子图。图的生成树不惟一。从不同的顶点出发进行遍历，可以得到不同的生成树。
 
 换句话说，生成树是原图 G 的一个子图，它包含了原图 G 的所有顶点，并且通过选择图中一部分边连接这些顶点，使得子图中没有环。
 
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 ### 2.3 Prim 算法的实现代码
 
 ```python
-
+class Solution:
+    # graph 为图的邻接矩阵，start 为起始顶点
+    def Prim(self, graph, start):
+        size = len(graph)
+        vis = set()
+        dist = [float('inf') for _ in range(size)]
+    
+        ans = 0                             # 最小生成树的边权和
+        dist[start] = 0                     # 初始化起始顶点到起始顶点的边权值为 0
+    
+        for i in range(1, size):            # 初始化起始顶点到其他顶点的边权值
+            dist[i] = graph[start][i]
+        vis.add(start)                      # 将 start 顶点标记为已访问
+    
+        for _ in range(size - 1):
+            min_dis = float('inf')
+            min_dis_pos = -1
+            for i in range(size):
+                if i not in vis and dist[i] < min_dis:
+                    min_dis = dist[i]
+                    min_dis_pos = i
+            if min_dis_pos == -1:           # 没有顶点可以加入 MST，图 G 不连通
+                return -1
+            ans += min_dis                  # 将顶点加入 MST，并将边权值加入到答案中
+            vis.add(min_dis_pos)
+            for i in range(size):
+                if i not in vis and dist[i] > graph[min_dis_pos][i]:
+                    dist[i] = graph[min_dis_pos][i]
+        return ans
+
+points = [[0,0]]
+graph = dict()
+size = len(points)
+for i in range(size):
+    x1, y1 = points[i]
+    for j in range(size):
+        x2, y2 = points[j]
+        dist = abs(x2 - x1) + abs(y2 - y1)
+        if i not in graph:
+            graph[i] = dict()
+        if j not in graph:
+            graph[j] = dict()
+        graph[i][j] = dist
+        graph[j][i] = dist
+        
+
+print(Solution().Prim(graph))
 ```
 
-### 2.3 Prim 算法
+### 2.4 Prim 算法复杂度分析
+
+Prim 算法的时间复杂度主要取决于以下几个因素：
+
+1. **初始化阶段**：
+   - 初始化距离数组和访问数组的时间复杂度为 $O(V)$，其中 $V$ 是图中的顶点数。
 
-## 03. Kruskal 算法
+2. **主循环阶段**：
+   - 外层循环需要执行 $V-1$ 次，用于选择 $V-1$ 条边。
+   - 每次循环中需要：
+     - 找到未访问顶点中距离最小的顶点，时间复杂度为 $O(V)$。
+     - 更新相邻顶点的距离，时间复杂度为 $O(V)$。
+
+因此，Prim 算法的总体复杂度为：
+- 时间复杂度：$O(V^2)$，其中 $V$ 是图中的顶点数。
+- 空间复杂度：$O(V)$，主要用于存储距离数组和访问数组。
+
+## 3. Kruskal 算法
 
 ### 3.1 Kruskal 算法的算法思想
 
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 2. 将每个顶点看做是一个单独集合，即初始时每个顶点自成一个集合。
 3. 按照排好序的边顺序，按照权重从小到大，依次遍历每一条边。
 4. 对于每条边，检查其连接的两个顶点所属的集合：
-   1. 如果两个顶点属于同一个集合，则跳过这条边，以免形成环路。
-   2. 如果两个顶点不属于同一个集合，则将这条边加入到最小生成树中，同时合并这两个顶点所属的集合。
+    1. 如果两个顶点属于同一个集合，则跳过这条边，以免形成环路。
+    2. 如果两个顶点不属于同一个集合，则将这条边加入到最小生成树中，同时合并这两个顶点所属的集合。
 5. 重复第 $3 \sim 4$ 步，直到最小生成树中的变数等于所有节点数减 $1$ 为止。
 
 ### 3.3 Kruskal 算法的实现代码
 
 ```python
+class UnionFind:
+
+    def __init__(self, n):
+        self.parent = [i for i in range(n)]
+        self.count = n
+
+    def find(self, x):
+        while x != self.parent[x]:
+            self.parent[x] = self.parent[self.parent[x]]
+            x = self.parent[x]
+        return x
+
+    def union(self, x, y):
+        root_x = self.find(x)
+        root_y = self.find(y)
+        if root_x == root_y:
+            return
+
+        self.parent[root_x] = root_y
+        self.count -= 1
+
+    def is_connected(self, x, y):
+        return self.find(x) == self.find(y)
+    
+
+class Solution:
+    def Kruskal(self, edges, size):
+        union_find = UnionFind(size)
+        
+        edges.sort(key=lambda x: x[2])
+        
+        res, cnt = 0, 1
+        for x, y, dist in edges:
+            if union_find.is_connected(x, y):
+                continue
+            ans += dist
+            cnt += 1
+            union_find.union(x, y)
+            if cnt == size - 1:
+                return ans
+        return ans
+    
+    def minCostConnectPoints(self, points: List[List[int]]) -> int:
+        size = len(points)
+        edges = []
+        for i in range(size):
+            xi, yi = points[i]
+            for j in range(i + 1, size):
+                xj, yj = points[j]
+                dist = abs(xi - xj) + abs(yi - yj)
+                edges.append([i, j, dist])
+                
+        ans = Solution().Kruskal(edges, size)
+        return ans
+```
+
+### 3.4 Kruskal 算法复杂度分析
+
+Kruskal 算法的时间复杂度主要取决于以下几个因素：
+
+1. **边的排序**：对 $E$ 条边进行排序的时间复杂度为 $O(E \log E)$。
+
+2. **并查集操作**：
+   - 查找操作（find）的时间复杂度为 $O(\alpha(n))$，其中 $\alpha(n)$ 是阿克曼函数的反函数，增长极其缓慢，可以近似认为是常数时间。
+   - 合并操作（union）的时间复杂度也是 $O(\alpha(n))$。
+
+3. **遍历边的过程**：需要遍历所有边，时间复杂度为 $O(E)$。
 
-```
+因此，Kruskal 算法的总体时间复杂度为：
+- 时间复杂度：$O(E \log E)$，其中 $E$ 是图中的边数。
+- 空间复杂度：$O(V)$，其中 $V$ 是图中的顶点数，主要用于存储并查集数据结构。