修正了文档中数学公式无法显示的问题

Author: jackfrued

Day66-80/71.NumPy的应用-4.md

@@ -39,8 +39,8 @@ $$
 一个向量 $\small{\boldsymbol{v}}$ 可以和一个标量 $\small{k}$ 相乘，运算的方法是将向量中的每个分量与该标量相乘即可，如下所示。
 
 $$
-\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \quad
-k \cdot \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ \vdots \\ k \cdot v_n \end{bmatrix}
+\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ \vdots \\\\ v_n \end{bmatrix}, \quad
+k \cdot \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} k \cdot v_1 \\\\ k \cdot v_2 \\\\ \vdots \\\\ k \cdot v_n \end{bmatrix}
 $$
 
 我们可以用 NumPy 的数组来表示向量，向量的加法可以通过两个数组的加法来实现，向量的数乘可以通过数组和标量的乘法来实现，此处不再进行赘述。
@@ -154,6 +154,7 @@ $$
 **性质5**：如果 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中两行（或两列）互换得到 $\small{det(\boldsymbol{A^{'}})}$ ，那么 $\small{det(\boldsymbol{A}) = -det(\boldsymbol{A^{'}})}$ 。
 
 **性质6**：将 $\small{det(\boldsymbol{A})}$ 中某行（或某列）的 $\small{k}$ 倍加进另一行（或另一列）里，行列式的值不变，如下所示。
+
 $$
 {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in} \\\\ a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in} \\\\ a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}} \\\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\\ \end{vmatrix}}
 $$
@@ -205,7 +206,7 @@ $$
 值得一提的是矩阵乘法运算，该运算仅当第一个矩阵 $\small{\boldsymbol{A}}$ 的列数和另一个矩阵 $\small{\boldsymbol{B}}$ 的行数相等时才能定义。如果 $\small{\boldsymbol{A}}$ 是一个 $\small{m \times n}$ 的矩阵，$\small{\boldsymbol{B}}$ 是一个 $\small{n \times k}$ 矩阵，它们的乘积是一个 $\small{m \times k}$ 的矩阵，其中元素的计算公式如下所示：
 
 $$
- [\mathbf{AB}]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}
+\mathbf{AB}_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + \cdots + A_{i,n} B_{n,j} = \sum_{r=1}^{n}{A_{i,r}B_{r,j}}
 $$
 
 <img src="res/matrix_multiply.png" style="zoom:35%;">
@@ -214,25 +215,25 @@ $$
 
 $$
 \begin{bmatrix}
-    1 & 0 & 2 \\\\
-    -1 & 3 & 1 \\\\
-  \end{bmatrix}
+1 & 0 & 2 \\\\
+-1 & 3 & 1
+\end{bmatrix}
 \times
-  \begin{bmatrix}
-    3 & 1 \\\\
-    2 & 1 \\\\
-    1 & 0
-  \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+3 & 1 \\\\
+2 & 1 \\\\
+1 & 0
+\end{bmatrix}
 =
-  \begin{bmatrix}
-     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\\\
-    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\\\
-  \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+(1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\\\
+(-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0)
+\end{bmatrix}
 =
-  \begin{bmatrix}
-    5 & 1 \\\\
-    4 & 2 \\\\
-  \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix}
+5 & 1 \\\\
+4 & 2
+\end{bmatrix}
 $$
 
 矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律：
@@ -243,7 +244,7 @@ $$
 
 右分配律： $\small{\boldsymbol{C}(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{CA} + \boldsymbol{CB}}$。
 
-**矩阵乘法不满足交换律**。一般情况下，矩阵 \small{$\boldsymbol{A}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B}}$ 的乘积 $\small{\boldsymbol{AB}}$ 存在，但 $\small{\boldsymbol{BA}}$ 不一定存在，即便 $\small{\boldsymbol{BA}}$ 存在，大多数时候 $\small{\boldsymbol{AB} \neq \boldsymbol{BA}}$ 。
+**矩阵乘法不满足交换律**。一般情况下，矩阵 $\small{\boldsymbol{A}}$ 和 $\small{\boldsymbol{B}}$ 的乘积 $\small{\boldsymbol{AB}}$ 存在，但 $\small{\boldsymbol{BA}}$ 不一定存在，即便 $\small{\boldsymbol{BA}}$ 存在，大多数时候 $\small{\boldsymbol{AB} \neq \boldsymbol{BA}}$ 。
 
 矩阵乘法的一个基本应用是在线性方程组上。线性方程组是方程组的一种，它符合以下的形式：
 
@@ -455,7 +456,7 @@ $$
 \boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}
 $$
 
-线性方程组有唯一解的条件：系数矩阵$\boldsymbol{A}$的秩等于增广矩阵$\boldsymbol{Ab}$的秩，而且跟未知数的个数相同。
+线性方程组有唯一解的条件：系数矩阵 $\small{\boldsymbol{A}}$ 的秩等于增广矩阵 $\small{\boldsymbol{Ab}}$ 的秩，而且跟未知数的个数相同。
 
 代码：
 
@@ -496,6 +497,7 @@ array([[1.],
 $$
 \boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}^{-1} \cdot \boldsymbol{b}
 $$
+
 代码：
 
 ```Python