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Author: PegasusWang

10_递归/recursion/index.html

@@ -387,7 +387,7 @@ <h1 id="_8">思考题</h1>
 <li>你能举出其他一些使用到递归的例子吗？</li>
 <li>实现一个 flatten 函数，把嵌套的列表扁平化，你需要用递归函数来实现。比如 [[1,2], [1,2,3] -&gt; [1,2,1,2,3]</li>
 <li>使用递归和循环各有什么优缺点，你能想到吗？怎么把一个尾递归用迭代替换？</li>
-<li>递归有时候虽然很优雅，但是时间复杂度却不理想，比如斐波那契数列，它的表达式是 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，你能计算它的时间复杂度吗？我们怎样去优化它</li>
+<li>递归有时候虽然很优雅直观，但是时间复杂度却不理想，比如斐波那契数列，它的表达式是 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，你能计算它的时间复杂度吗？请你画个树来表示它的计算过程，为什么这个时间复杂度很不理想？我们怎样去优化它。</li>
 </ul>
 
             </div>

13_高级排序算法/quick_sort/index.html

@@ -306,6 +306,7 @@ <h1 id="_3">思考题</h1>
 <h1 id="_4">延伸阅读</h1>
 <ul>
 <li>《算法导论》第 7 章</li>
+<li><a href="https://zhuanlan.zhihu.com/p/36419582">《面试必备 | 排序算法的Python实现》</a></li>
 </ul>
 
             </div>

17_二叉查找树/binary_search_tree/index.html

@@ -175,15 +175,18 @@
 
             <li><a class="toctree-l3" href="#_2">插入</a></li>
 
-            <li><a class="toctree-l3" href="#_3">删除</a></li>
+            <li><a class="toctree-l3" href="#_3">删除节点</a></li>
 
         </ul>
 
 
-    <li class="toctree-l2"><a href="#_4">练习题：</a></li>
+    <li class="toctree-l2"><a href="#_7">时间复杂度分析</a></li>
 
 
-    <li class="toctree-l2"><a href="#_5">延伸阅读</a></li>
+    <li class="toctree-l2"><a href="#_8">练习题：</a></li>
+    
+
+    <li class="toctree-l2"><a href="#_9">延伸阅读</a></li>
 
 
     </ul>
@@ -224,7 +227,7 @@
                 <h1 id="bst">二叉查找树(BST)</h1>
 <p>二叉树的一种应用就是来实现堆，今天我们再看看用二叉查找树。
 前面有章节说到了查找操作，包括线性查找和二分查找，线性查找效率比较低，二分又要求必须是有序的序列，
-为了维持有序插入的代价比较高。能不能有一种插入和查找都比较快的数据结构呢？</p>
+为了维持有序插入的代价比较高。能不能有一种插入和查找都比较快的数据结构呢？二叉查找树就是这样一种结构，可以高效地插入和查询节点。</p>
 <h1 id="bst_1">BST 定义</h1>
 <p>二叉查找树是这样一种二叉树结构，它的每个节点包含一个 key 和它附带的数据，对于每个内部节点 V：
 - 所有 key 小于 V 的都被存储在 V 的左子树
@@ -320,9 +323,17 @@ <h2 id="key">获取最大和最小 key 的节点</h2>
 </code></pre>
 
 <h2 id="_2">插入</h2>
-<p>插入节点的时候我们需要一直保持 BST 的性质，每次插入一个节点，我们都通过递归比较把它放到正确的位置。</p>
+<p>插入节点的时候我们需要一直保持 BST 的性质，每次插入一个节点，我们都通过递归比较把它放到正确的位置。
+你会发现新节点总是被作为叶子结点插入。（请你思考这是为什么）</p>
+<p><img alt="" src="../bst_insert.png" /></p>
 <pre><code class="py">    def _bst_insert(self, subtree, key, value):
-        if subtree is None:
+        &quot;&quot;&quot; 插入并且返回根节点
+
+        :param subtree:
+        :param key:
+        :param value:
+        &quot;&quot;&quot;
+        if subtree is None:   # 插入的节点一定是根节点，包括 root 为空的情况
             subtree = BSTNode(key, value)
         elif key &lt; subtree.key:
             subtree.left = self._bst_insert(subtree.left, key, value)
@@ -341,14 +352,80 @@ <h2 id="_2">插入</h2>
             return True
 </code></pre>
 
-<h2 id="_3">删除</h2>
-<h1 id="_4">练习题：</h1>
+<h2 id="_3">删除节点</h2>
+<p>删除操作相比上边的操作要麻烦很多，首先需要定位一个节点，删除节点后，我们需要始终保持 BST 的性质。
+删除一个节点涉及到三种情况：</p>
+<ul>
+<li>节点是叶节点</li>
+<li>节点有一个孩子</li>
+<li>节点有两个孩子</li>
+</ul>
+<p>我们分别来看看三种情况下如何删除一个节点：</p>
+<h4 id="_4">删除叶节点</h4>
+<p>这是最简单的一种情况，只需要把它的父亲指向它的指针设置为 None 就好。</p>
+<p><img alt="" src="../bst_remove_leaf.png" /></p>
+<h4 id="_5">删除只有一个孩子的节点</h4>
+<p>删除有一个孩子的节点时，我们拿掉需要删除的节点，之后把它的父亲指向它的孩子就行，以为根据 BST
+左子树都小于节点，右子树都大于节点的特性，删除它之后这个条件依旧满足。</p>
+<p><img alt="" src="../bst_remove_node_with_one_child.png" /></p>
+<h4 id="_6">删除有两个孩子的内部节点</h4>
+<p>假如我们想删除 12 这个节点改怎么做呢？你的第一反应可能是按照下图的方式：</p>
+<p><img alt="" src="../remove_interior_replace.png" /></p>
+<p>但是这种方式可能会影响树的高度，降低查找的效率。这里我们用另一种非常巧妙的方式。
+还记得上边提到的吗，如果你中序遍历 BST 并且输出每个节点的 key，你会发现就是一个有序的数组。
+[1 4 12 23 29 37 41 60 71 84 90 100]。 这里我们定义两个概念，逻辑前任(predecessor)和后继(successor)，请看下图:</p>
+<p><img alt="" src="../predecessor_successor.png" /></p>
+<p>12 在中序遍历中的逻辑前任和后继分别是 4 和 23 节点。于是我们还有一种方法来删除 12 这个节点：</p>
+<ul>
+<li>找到节点待删除节点 N(12) 的后继节点 S(23)</li>
+<li>复制节点 S 到节点 N</li>
+<li>删除节点 S</li>
+</ul>
+<p>说白了就是找到后继并且替换，这里之所以能保证这种方法是正确的，你会发现替换后依旧是保持了 BST 的性质。
+有个问题是如何找到后继节点呢？待删除节点的右子树的最小的节点不就是后继嘛，上边我们已经实现了找到最小 key 的方法了。</p>
+<p><img alt="" src="../find_successor.png" /></p>
+<p>我们开始编写代码实现，和之前的操作类似，我们还是通过辅助函数的形式来实现，这个递归函数会比较复杂，请你仔细理解:</p>
+<pre><code class="py">    def _bst_remove(self, subtree, key):
+        &quot;&quot;&quot;删除节点并返回根节点&quot;&quot;&quot;
+        if subtree is None:
+            return None
+        elif key &lt; subtree.key:
+            subtree.left = self._bst_remove(subtree.left, key)
+            return subtree
+        elif key &gt; subtree.key:
+            subtree.right = self._bst_remove(subtree.right, key)
+            return subtree
+        else:  # 找到了需要删除的节点
+            if subtree.left is None and subtree.right is None:    # left node
+                return None
+            elif subtree.left is None or subtree.right is None:  # 只有一个孩子
+                if subtree.left is not None:
+                    return subtree.left
+                else:
+                    return subtree.right
+            else:  # 俩孩子
+                successor_node = self._bst_min_node(subtree.right)
+                subtree.key, subtree.value = successor_node.key, subtree.value
+                subtree.right = self._bst_remove(subtree.right, successor_node.key)
+                return subtree
+
+    def remove(self, key):
+        assert key in self
+        self.size -= 1
+</code></pre>
+
+<p>完整代码你可以在本章的 bst.py  找到。</p>
+<h1 id="_7">时间复杂度分析</h1>
+<p>上边介绍的操作时间复杂度和二叉树的形状有关。平均来说时间复杂度是和树的高度成正比的，树的高度 h 是 log(n)，
+但是最坏情况下以上操作的时间复杂度都是 O(n)。为了改善 BST 有很多变种，感兴趣请参考延伸阅读中的内容。</p>
+<p><img alt="" src="../bst_worstcase.png" /></p>
+<h1 id="_8">练习题：</h1>
 <ul>
 <li>请你实现查找 BST 最大值的函数</li>
 </ul>
-<h1 id="_5">延伸阅读</h1>
+<h1 id="_9">延伸阅读</h1>
 <ul>
-<li>《Data Structures and Algorithms in Python》14 章</li>
+<li>《Data Structures and Algorithms in Python》14 章，树的概念和算法还有很多，我们这里介绍最基本的</li>
 </ul>
 
             </div>

17_二叉查找树/bst.py

@@ -38,6 +38,10 @@ def _bst_search(self, subtree, key):
         else:
             return subtree
 
+    def __contains__(self, key):
+        """实现 in 操作符"""
+        return self._bst_search(self.root, key) is not None
+
     def get(self, key, default=None):
         node = self._bst_search(self.root, key)
         if node is None:
@@ -58,7 +62,13 @@ def bst_min(self):
         return node.value if node else None
 
     def _bst_insert(self, subtree, key, value):
-        if subtree is None:
+        """ 插入并且返回根节点
+
+        :param subtree:
+        :param key:
+        :param value:
+        """
+        if subtree is None:   # 插入的节点一定是根节点，包括 root 为空的情况
             subtree = BSTNode(key, value)
         elif key < subtree.key:
             subtree.left = self._bst_insert(subtree.left, key, value)
@@ -76,6 +86,35 @@ def add(self, key, value):
             self.size += 1
             return True
 
+    def _bst_remove(self, subtree, key):
+        """删除节点并返回根节点"""
+        if subtree is None:
+            return None
+        elif key < subtree.key:
+            subtree.left = self._bst_remove(subtree.left, key)
+            return subtree
+        elif key > subtree.key:
+            subtree.right = self._bst_remove(subtree.right, key)
+            return subtree
+        else:  # 找到了需要删除的节点
+            if subtree.left is None and subtree.right is None:    # left node
+                return None
+            elif subtree.left is None or subtree.right is None:  # 只有一个孩子
+                if subtree.left is not None:
+                    return subtree.left
+                else:
+                    return subtree.right
+            else:  # 俩孩子
+                successor_node = self._bst_min_node(subtree.right)
+                subtree.key, subtree.value = successor_node.key, subtree.value
+                subtree.right = self._bst_remove(subtree.right, successor_node.key)
+                return subtree
+
+    def remove(self, key):
+        assert key in self
+        self.size -= 1
+        return self._bst_remove(self.root, key)
+
 
 NODE_LIST = [
     {'key': 60, 'left': 12, 'right': 90, 'is_root': True},
@@ -105,3 +144,12 @@ def test_bst_tree():
 
     bst.add(0, 0)
     assert bst.bst_min() == 0
+
+    bst.remove(12)
+    assert bst.get(12) is None
+
+    bst.remove(1)
+    assert bst.get(1) is None
+
+    bst.remove(29)
+    assert bst.get(29) is None

17_二叉查找树/bst_insert.png

@@ -463,5 +463,5 @@ <h2 id="_19">本电子书制作和写作方式</h2>
 
 <!--
 MkDocs version : 0.17.3
-Build Date UTC : 2018-05-04 16:32:43
+Build Date UTC : 2018-05-05 13:27:21
 -->