feat: uf

Author: lucifer

thinkings/union-find.md

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 # 并查集
 
-关于并查集的题目不少，官方给的数据是 30 道（截止 2020-02-20），但是有一些题目虽然官方没有贴`并查集`标签，但是使用并查集来说确非常简单。这类题目如果掌握模板，那么刷这种题会非常快，并且犯错的概率会大大降低，这就是模板的好处。
+## 背景
 
-我这里总结了几道并查集的题目：
+相信大家都玩过下面的迷宫游戏。你的目标是从地图的某一个角落移动到地图的出口。规则很简单，仅仅你不能穿过墙。
 
-- [547. 朋友圈](../problems/547.friend-circles.md)
-- [721. 账户合并](https://leetcode-cn.com/problems/accounts-merge/solution/mo-ban-ti-bing-cha-ji-python3-by-fe-lucifer-3/)
-- [990. 等式方程的可满足性](https://github.com/azl397985856/leetcode/issues/304)
-- [1202. 交换字符串中的元素](https://leetcode-cn.com/problems/smallest-string-with-swaps/)
-- [1697. 检查边长度限制的路径是否存在](https://leetcode-cn.com/problems/checking-existence-of-edge-length-limited-paths/)
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1goxczig610j30as0ar48s.jpg)
 
-上面的题目前面四道都是无权图的连通性问题，第五道题是带权图的连通性问题。两种类型大家都要会，上面的题目关键字都是**连通性**，代码都是套模板。看完这里的内容，建议拿上面的题目练下手，检测一下学习成果。
+实际上，这道题并不能够使用并查集来解决。 不过如果我将规则变成，“是否存在一条从入口到出口的路径”，那么这就是一个简单的联通问题，只不过用肉眼去观察实在是太费力了。幸好，我们有计算器可以帮助我们。并查集算法就可以用来解决这个问题，并且比暴力枚举效率高。如果地图不变，而不断改变入口和出口的位置，并查集的效果高的超出你的想象。
+
+另外并查集还可以在人工智能中用作图像人脸识别等，感兴趣的可以查找一下相关资料。
 
 ## 概述
 
-并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。有一个联合-查找算法（Union-find Algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作：
+并查集使用的是一种**树型**的数据结构，用于处理一些不交集（Disjoint Sets）的合并及查询问题。比如让你求两个人是否间接认识，两个地点之间是否有至少一条路径。上面的例子其实都可以抽象为联通性问题。即如果两个点联通，那么这两个点就有至少一条路径能够将其连接起来。值得注意的是，并查集只能回答“联通与否”，而不能回答诸如“具体的联通路径是什么”。如果要回答“具体的联通路径是什么”这个问题，则需要借助其他算法，比如广度优先遍历。
 
-- Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
-- Union：将两个子集合并成同一个集合。
+并查集（Union-find Algorithm）定义了两个用于此数据结构的操作：
 
-初始化每一个点都是一个连通域，类似下图：
-
-![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4f8vpp3j30p9024jra.jpg)
+- Find：确定元素属于哪一个子集。它可以被用来确定两个元素是否属于同一子集。
 
-由于支持这两种操作，一个不相交集也常被称为联合-查找数据结构（Union-find Data Structure）或合并-查找集合（Merge-find Set）。为了更加精确的定义这些方法，需要定义如何表示集合。一种常用的策略是为每个集合选定一个固定的元素，称为代表，以表示整个集合。接着，Find(x) 返回 x 所属集合的代表，而 Union 使用两个集合的代表作为参数。
+- Union：将两个子集合并成同一个集合。
 
 ## 形象解释
 
 比如有两个司令。 司令下有若干军长，军长下有若干师长。。。
 
-我们如何判断某两个师长是否属于同一个司令呢（连通性）？
+### 判断两个节点是否联通
+
+我们如何判断某两个师长是否归同一个司令管呢（连通性）？
 
 ![](https://tva1.sinaimg.cn/large/007S8ZIlly1ghlufxh5lhj30gs0bzwet.jpg)
 
-很简单，我们顺着师长，往上找，找到司令。 如果两个师长找到的是同一个司令，那么就属于同一个司令。我们用 parent[x] = y 表示 x 的 parent 是 y，通过不断沿着搜索 parent 搜索找到 root，然后比较 root 是否相同即可得出结论。
+很简单，我们顺着师长，往上找，找到司令。 如果两个师长找到的是同一个司令，那么两个人就归同一个司令管。
 
-以上过程涉及了两个基本操作`find`和`connnected`。 并查集除了这两个基本操作，还有一个是`union`。即将两个集合合并为同一个。
+代码上我们可以用 parent[x] = y 表示 x 的 parent 是 y，通过不断沿着搜索 parent 搜索找到 root，然后比较 root 是否相同即可得出结论。 这里的 root 实际上就是上文提到的**集合代表**。
 
-> 为了使得合并之后的树尽可能平衡，一般选择将小树挂载到大树上面，之后的代码模板会体现这一点
+这个不断往上找的操作，我们一般称为 find，使用 ta 我们可以很容易地求出两个节点是否连通。
+
+### 合并两个联通区域
 
 如图有两个司令：
 
@@ -51,6 +50,14 @@
 
 ## 核心 API
 
+首先我们初始化每一个点都是一个连通域，类似下图：
+
+![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4f8vpp3j30p9024jra.jpg)
+
+为了更加精确的定义这些方法，需要定义如何表示集合。一种常用的策略是为每个集合选定一个固定的元素，称为代表，以表示整个集合。接着，Find(x) 返回 x 所属集合的代表，而 Union 使用两个集合的代表作为参数进行合并。
+
+> 这里的代表就是上面的“司令”。
+
 ### find
 
 ```python
@@ -70,12 +77,16 @@ def find(self, x):
     return x
 ```
 
-（这里我进行了路径的压缩）
+这里我在递归实现的 find 过程进行了路径的压缩，每次往上查找之后都会将树的高度降低到 2。
+
+这有什么用呢？我们知道每次 find 都会从当前节点往上不断搜索，直到到达根节点，因此 find 的时间复杂度大致相等于节点的深度，最坏的情况节点的深度等于树的高度，树的高度如果不加控制则可能为节点数，因此 find 的时间复杂度可能会退化到 $O(n)$。而如果进行路径压缩，那么树的平均高度不会超过 $logn$，具体证明略。不过给大家画了一个图来辅助大家理解。
 
 比如对于如下的一个图：
 
 ![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4g5jyb9j30og05naaa.jpg)
 
+图中 r:1 表示 秩为 1，r 是 rank 的简写。这里的秩其实对应的就是上文的 size。（下同，不再赘述）
+
 调用 find(0) 会逐步找到 3 ，在找到 3 的过程上会将路径上的节点都指向根节点。
 
 ![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4i1vrclg30ni05wtj9.gif)
@@ -101,10 +112,12 @@ def connected(self, p, q):
 
 ![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4avz4iej30lv04rmx9.jpg)
 
-图中 r:1 表示 秩为 1，r 是 rank 的简写。这里的秩其实对应的就是上文的 size。
-
 如果我们将 0 和 7 进行一次合并。即 `union(0, 7)` ，则会发生如下过程。
 
+- 找到 0 的根节点 3
+- 找到 7 的根节点 6
+- 将 6 指向 3。（为了使得合并之后的树尽可能平衡，一般选择将小树挂载到大树上面，下面的代码模板会体现这一点。3 的秩比 6 的秩大，这样更利于树的平衡，避免出现极端的情况）
+
 ![](https://tva1.sinaimg.cn/large/008eGmZEly1gmm4btv06yg30ni05wwze.gif)
 
 代码：
@@ -115,6 +128,8 @@ def union(self, p, q):
     self.parent[self.find(p)] = self.find(q)
 ```
 
+这里我并没有判断秩的大小关系，目的是方便大家理清主脉络。完整代码见下面代码区。
+
 ## 不带权并查集
 
 平时做题过程，遇到的更多的是不带权的并查集。相比于带权并查集， 其实现过程也更加简单。
@@ -156,7 +171,7 @@ class UF:
 
 ## 带权并查集
 
-实际上并查集就是图结构，我们使用了哈希表来模拟这种图的关系。 而上面讲到的其实都是有向无权图，因此仅仅使用 parent 表示节点关系就可以了。而如果使用的是有向带权图呢？实际上除了维护 parent 这样的节点指向关系，我们还需要维护节点的权重，一个简单的想法是使用另外一个哈希表 weight 存储节点的权重关系。比如 `weight[a] = 1 表示 a 到其父节点的权重是 1`。
+上面讲到的其实都是有向无权图，因此仅仅使用 parent 表示节点关系就可以了。而如果使用的是有向带权图呢？实际上除了维护 parent 这样的节点指向关系，我们还需要维护节点的权重，一个简单的想法是使用另外一个哈希表 weight 存储节点的权重关系。比如 `weight[a] = 1 表示 a 到其父节点的权重是 1`。
 
 如果是带权的并查集，其查询过程的路径压缩以及合并过程会略有不同，因为我们不仅关心节点指向的变更，也关心权重如何更新。比如：
 
@@ -246,9 +261,22 @@ return True
 
 - [684. 冗余连接](https://leetcode-cn.com/problems/redundant-connection/solution/bing-cha-ji-mo-ban-ben-zhi-jiu-shi-jian-0wz2m/)
 - [Forest Detection](https://binarysearch.com/problems/Forest-Detection)
-
 - 最小生成树经典算法 Kruskal
 
+## 练习
+
+关于并查集的题目不少，官方给的数据是 30 道（截止 2020-02-20），但是有一些题目虽然官方没有贴`并查集`标签，但是使用并查集来说确非常简单。这类题目如果掌握模板，那么刷这种题会非常快，并且犯错的概率会大大降低，这就是模板的好处。
+
+我这里总结了几道并查集的题目：
+
+- [547. 朋友圈](../problems/547.friend-circles.md)
+- [721. 账户合并](https://leetcode-cn.com/problems/accounts-merge/solution/mo-ban-ti-bing-cha-ji-python3-by-fe-lucifer-3/)
+- [990. 等式方程的可满足性](https://github.com/azl397985856/leetcode/issues/304)
+- [1202. 交换字符串中的元素](https://leetcode-cn.com/problems/smallest-string-with-swaps/)
+- [1697. 检查边长度限制的路径是否存在](https://leetcode-cn.com/problems/checking-existence-of-edge-length-limited-paths/)
+
+上面的题目前面四道都是无权图的连通性问题，第五道题是带权图的连通性问题。两种类型大家都要会，上面的题目关键字都是**连通性**，代码都是套模板。看完这里的内容，建议拿上面的题目练下手，检测一下学习成果。
+
 ## 总结
 
 如果题目有连通，等价的关系，那么你就可以考虑并查集，另外使用并查集的时候要注意路径压缩，否则随着树的高度增加复杂度会逐渐增大。