数学让人类繁荣
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本书为量子杂志的文章精选。
杂志的主编在介绍这本书的时候写到：
我们讲了一些最伟大的科学家和数学家的故事，因为他们检验了人类知识的极限。……这些故事透过重大的问题，解释了一些理解我们物理、生物和逻辑世界的最佳思想和理论，同时也阐明了目前尚存在争议的基本问题以及阻碍这些学科进一步发展的障碍。
在为这本书甄选和编辑文章的过程中，主编并没有选择“最佳选集”和“最热门合集”这类常规的精选集形式。
取而代之的是，我想让读者踏上一段激动人心的知识之旅，乘着人类对知识无止境追求的东风，直抵发现的前言。……这段非虚构的冒险之旅探索了关于素数本质的核心问题——我们的宇宙是不是“自然的”，时间和无穷的本质，奇怪的量子现实，时空是基本的还是意外产生的，黑洞内外，生命的起源和演变，是什么让我们成为人类，我们对计算的期望以及其局限性，数学在科学和社会中的角色，以及这些问题会将我们带向何处。
本书中的这些故事揭示了前沿研究是如何进行的——理论、实验和数学直觉之间这些颇具成果的紧张冲突是如何在成功、失败或无效的结果中开辟出一条前进道路的。
本书选择的文章共分为七个部分
1、素数有什么特别之处
《默默无闻的数学家跨越了素数的沟壑》，读起来像是一个标准的传奇故事，一位名不见经传的50岁讲师张益唐，发表了一篇文章证明了素数分布中的一个里程碑式的定理。
人们意识到，张益唐的结果并非来自什么全新的方法，而是来自坚持不懈地运用已有的方法。
《素数间隔问题：通力合作与孤军奋战》讲了在张益唐发表了文章之后，菲尔兹将得主陶哲轩创建的公开在线项目“博学者计划”对张益唐的工作进行的改进。
《凯萨·马托麦基的素数之梦》，是量子杂志对这位数学家的采访，凯萨·马托麦基和拉齐维尔共同获得了2016年的SASTRA拉马努金奖。
《素数的阴谋》为本书的标题文章，这里解释了素数的一个之前从未被注意到的简单性质：前一个素数似乎对后一个素数的尾数有特殊的偏好。格兰维尔认为，这一发现将使数学家们以一种崭新的视角看待素数。“你可能会想，关于素数，我们还错过了什么？”
2、数学是大自然的通用语言吗
《魔群与月光幻影》：现如今，“月光猜想”正在经历一场复兴，最终可能会对弦论产生深远影响。过去8年里，从一个类似于麦凯的发现开始，数学家和物理学家们逐渐意识到，魔群月光仅仅是整个故事的开始。
察吉尔说，找到“伴影月光猜想”的数值证据“就像在火星上寻找动物，我们看到了它的足迹，所以我们知道它就在那里”。
《数学和自然以神秘的模式相融交汇》：当研究人员在计算机上绘制出数千辆公交车的发车时间时，他们的怀疑得到了证实：司机间的相互作用使发车间隔呈现出一种科学家之前在量子物理实验中观察到的独特模式：数据看上去像是随意分布的，但相邻的线之间相互排斥，从而使它们的间隔具有一定程度的规律性。
《一个新的普适定律的远端》：特雷西-维多姆分布的普适性可能与相变的普适性有关。
《“鸟瞰”大自然的隐藏秩序》：乔·科尔博在观察鸡视锥细胞是，发现了一种被称为“超齐构性”的隐藏秩序的第一个生物学表现形式，除了鸟类眼睛之外，超齐构性还出现在准晶材料、充满随机数的数学矩阵、宇宙的大尺度结构、量子系统以及乳浊液和胶体这样的软物质系统中。
《关于随机性的统一理论》：谢菲尔德和与他经常合作的剑桥大学教授贾森·米勒的工作开启了集合随机性的统一理论。
《在粒子碰撞中发现的奇怪数字》：在过去的十年里，物理学家和数学家一直在探索一种令人惊讶的对应关系，它有可能为历史悠久的费曼图注入新的活力，并为物理学和数学带来深远的洞见。这种对应关系与一个奇怪的事实有关：从费曼图中计算出的数值似乎与一个叫“代数几何”的数学分支中出现的一些最重要的数字完全吻合。这些数值被称为“原相周期（periods of motives）”
《量子问题启发新的数学研究》：量子理论的逻辑结构一旦被完全理解和吸收，能否激发出一个或许被称为“量子数学”的新数学领域？
3、精妙的数学证明是如何诞生的
这一部分介绍了近年来重要的数学突破
《少有人走的数学巅峰之路》：许埈珥
一些人类理解上的重大飞跃，发生在有人将一个领域的成熟理论推广到另一个领域中看似不相关的现象的时候。
《一个寻找已久又险些得而复失的证明》：托马斯·罗延
在刷牙时突然灵光一现，想到了一个著名猜想的证明方法。
“我们可能在一个问题上花了很长时间，然后代表神经元奥秘的天使突然降临，带来了一个绝妙的想法。”
《“局外人”攻克50年历史的数学问题》：丹尼尔·施皮尔曼
卡迪森-辛格问题被三个局外人——三位计算机科学家解决了，这一消息很快传遍了数学界……陶哲轩评论说：“那些对这些方法为何有效有着深刻直觉的人，并不是长期致力于研究这些问题的人。”数学家们已经举行了几次研讨会来尝试把这些不同阵营的人统一起来，但学界可能还需数年时间才能消化这一证明。
《驯服“怪波”，点亮LED的未来》：斯维特拉纳·梅伯罗达
提出了一个叫做“地形函数”的数学公式，它可以精确预测波发生局域化的位置，以及发生局域化时波采取的形式。
《五边形密铺证明解决百年历史的数学问题》：米夏埃尔·拉奥
攻克了五边形这一仅剩的情形，最终完成了对可密铺平面的凸多边形的分类。
《纸牌游戏的简单证明震惊数学家》：厄尼·克鲁特、弗谢沃洛德·列夫、彼得·帕尔·帕赫
展示了如何使用多项式方法来解决一个与上集问题密切相关的问题，在这个问题中，牌组的每种属性可以有4种不同的选择，而非3种。由于技术性的原因，这个问题比原来的牌组问题更容易处理。
《80年未决谜题的神奇答案》：陶哲轩
解决了一个80年未决的数论问题——埃尔德什差异问题。
格兰维尔说，在陶哲轩的结果出现之前，埃尔德什差异问题一直是我们在面对乘性函数时“觉得自己无法理解的最荒谬的事情”之一。“陶哲轩的解决方案看似通过直接的观察就能得到，但不知怎的，它需要花费大量深刻的想法和智慧才能实现。”
《数学家攻克高维版本的球堆积问题》：马琳娜·维亚佐夫斯卡
解决了有数百年历史的“球堆积”问题的两个高维版本。
维亚佐夫斯卡表示，她很难解释自己是如何知道该使用哪种模形式的，她目前正在写一篇文章，试图描述引领自己找到模形式的“哲学原因”。
4、最优秀的数学头脑是如何工作的
这一部分类介绍了重要的数学家及其成就
《抽象曲面的坚韧探索者》：马里亚姆·米尔哈扎尼，第一位获得菲尔兹奖的女性
你必须花费一番精力和努力，才能看到数学之美。
《没有博士学位的“叛逆者”》：弗里曼·戴森访谈
我没有发明任何新的东西——我只是把费曼的想法翻译成了数学，让大家更容易理解它，结果我出名了。
《解决混沌问题的巴西神童》：阿图尔·阿维拉，历史上第一个获菲尔兹奖的巴西人。
大多数时候，当我完成某些事时，并不是因为我有一个目标，而是因为我在做自己想做的事。我只想继续享受做数学的乐趣。
《融汇音乐与魔法天赋的数论学家》：曼朱尔·巴尔加瓦，获2014年菲尔兹奖
有时候，当我产生新的想法时，还没有合适的语言来描述它。有时候，这些想法只是我脑海中的一幅画面，描述了事情如何发展。
《算数的神谕》：彼得·朔尔策，2018年获菲尔茨奖
朔尔策有一种令人不安的能力：他能够洞察到数学现象的本质。
对于朔尔策来说，自己迄今为止的工作都只是热身。“我仍处在试图了解已有的东西，然后用自己的语言重述它们的阶段”，他说，“我觉得自己还没有真正开始做研究。”
《通过素数证明升起的另类明星》：张益唐访谈
直觉。你对数学的感觉。那是什么？这很难跟别人讲。那是很私人的事情。
《在嘈杂方程中听到音乐的人》：马丁·海雷尔，2014年获菲尔茨奖
他有能力感知到通向宏大解决方案和漂亮证明的道路。
《迈克尔·阿蒂亚的奇思妙想国》：迈克尔·哈蒂亚访谈
阿蒂亚对于如何在不同知识之间建立正确的联系拥有敏锐的直觉，这种联系往往与他本人和他自己的想法有关。在半个多世纪的职业生涯中，他弥合了数学领域内明显不同思想之间的鸿沟，以及数学与物理学之间的鸿沟。
人们认为，数学始于你写下定理，然后给出证明。但其实这并不是开始，而是结束。
5、计算机能做什么、不能做什么
《防黑客代码已确认》：介绍一种被称为形式验证（formal verification）的软件编程风格。
采用形式验证的风格编写的软件读起来就像是一个数学证明：每一条语句在逻辑上都承接上一条语句。一个完整的程序可以像数学家证明定理一样确定地被测试。
安全性和可靠性是驱动形式方法的两个主要目标。随着时间推移，提高这两大目标的需求也越发明显。随着安全风险的增加，形式方法的研究人员正在朝着更有野心的领域推进。
在微软研究院，软件工程师正在进行两个雄心勃勃的形式验证项目。第一个项目名为Everest，旨在打造一个经过验证的HTTPS版本。第二个项目旨在为复杂物联网系统（如无人机）开发经过验证的规范。
《计算机会重新定义数学的根源吗》：近十年来，弗拉基米尔·沃埃沃德斯基一直在宣传计算机辅助证明的优点，并发展单一基础，以便使数学语言和计算机编程语言更接近。在他看来，转向计算机形式化是必要的，因为有些数学分支已经变得太抽象了，无法被人们可靠地检查。
到2009年底，沃埃沃德斯基已经给出了单一基础的所有细节，并准备开始分享他的想法。沃埃沃德斯基和瑞典哥德堡大学的计算机科学家蒂埃里·科康一起，于2012-2013学年期间在普林斯顿高等研究院组织了一个特别研究年。来自世界各地的30多位计算机科学家、逻辑学家和数学家参加了此次活动。
特别研究年之后，行动被分成了几个不同的方向。包括舒尔曼在内的一组研究人员，开始在他们发展的框架内探索找到新发现的可能性。包括沃埃沃德斯基在内的另一组研究人员，开始用单一语言重写数学。他们的目标是建立一个基本数学元素（引理、证明、命题等）的库，数学家可以用这个库在单一基础上形式化自己的工作。
《里程碑式的算法打破30年僵局》：拉斯洛·鲍鲍伊给出了图同构问题的一种新算法，被誉为在解释复杂性理论的晦涩领域方面取得了突破。
《关于不可能的宏伟愿景》：苏巴什·霍特的唯一博弈猜想
6、无穷是什么
《一条解决无穷争议的新逻辑定律》
20世纪20年代，人们建立了一个包含9条公理的列表，建成ZFC,该列表被广泛采用。它们构成了数学的基本定律，数学家在探索他们宇宙的过程中，偶尔发现了一些漏洞：一些陈述在ZFC公理体系内既不能被证明，也不能被证否。大多数数学家直接忽略了这些漏洞，因为它们处在一些几乎没有实际或科学影响的抽象领域，但对于数学逻辑基础的管理者来书，它们的存在引发了对整个数学大厦基础的担忧。
《跨越有限与无穷的分界》：两位年轻的数学家，横山启太和卢多维克·帕泰，通过一个出人意料的证明，找到了有限与无穷之间的一座桥，这一发现同时也有助于绘制这二者之间奇怪的边界。
《数学家通过测量，发现两个无穷是相等的》：玛丽安特·马里亚里斯和萨哈龙·希拉合作完成的工作，证明了两个不同的无穷其实大小相等，这一突破颠覆了几十年来的传统观点。改进展涉及数学中最著名也是最棘手的问题之一：在自然数的无穷和实数的无穷之间是否存在其他无穷。
7、数学对你有好处吗
《受意想不到的天才激励的人生》这篇是对数学家小野·肯的采访，探讨了他是如何成为一名数学家和导师的。采访中也谈到了拉马努金鼓舞人心的创造力。
《要过最好的生活，做数学吧》这篇是对数学家弗朗西斯·苏的采访，苏教授是MAA有史以来第一位来自有色人种的主席。在本次采访前，苏教授在做了题目为“数学让人类繁荣”的卸任演说，他对于繁荣的理解是：“繁荣在某种程度上就是你能充分发挥你的潜力”。
它（数学）培养除了一些技能，让人们能够做一些他们原本无法做或无法体验到的事，如果我学了数学并且变得更善于思考，那我就培养除了一种毅力，因为我知道与难题斗争是什么感觉；我也会更有信心，因为我确实能解决一些难题；还有人能体会到一种超然的生化，感觉自己看到了关于宇宙的真理。这是快乐和繁荣的源泉。
《为什么数学是理解世界的最佳方式》这篇文章是《量子》杂志对戈尔丁教授的采访。戈尔丁是乔治梅森大学的数学科学教授，她毕生致力于提高人们的定量思维素养。她认为数学推理和研究不仅用途广泛，而且令人愉快。在采访中戈尔丁教授表示：
如果我们没有定量信息的能力，那我们通常做的决定就会更多地基于我们的信念和恐惧，而不是实际情况。在个人层面上，如果我们有定量思考的能力，我们就能对自己的健康、在风险方面的选择和生活方式做出更好的决定。
