数学的本质

犹太人为何如此强大？马克思是犹太人，爱因斯坦是犹太人，佩雷尔曼也是犹太人，挺巧，Rudin也是犹太人。

如果说非要说Rudin的书有什么特点，很多人肯定会说抽象简洁，另外书的取材编排独到，他确实很会写书。

但还有一个显著特点，那就是全书不会有一个几何图形，所有著作肯定都不会有，其他人的书或多或少会有一两个几何图形。能意识到这一点的人要么不喜欢，要么已经认识了什么是数学，现代数学绝对不是百度百科上给的定义：研究数量关系和空间形式。看到这个就笑而不语了，忽悠鬼呢？如果是古代这么说也就算了，在现代这么说简直就是搞笑。Rudin的书显然依赖的源头不过是基于集合以及实数理论，绝不可能有一个证明依赖于直观几何图形，尽管可以用几何去描述，或者用几何来增加直观性，但Rudin始终没画一个图形在书上。

本质上来说，数学不过是一套公理化体系，数学研究无非就是创造一些新的数学概念，例如群、环、域，或者黎曼积分，无穷级数，抽象积分，Lebesgue测度，拓扑向量空间，广义函数等，这些属于数学概念，完全是主观创造，但是创造数学概念不是随意的，它们是某种特殊的集合，一定是，数学里一切皆为集。推证某些命题或猜想，这里的推理当然不是随意的，所有推理必然是符合数理逻辑推理规则的，推理能使用的手段仅仅只有公理和数理逻辑推理规则以及由此推出的真命题——定理，另外公理间必须是无矛盾的。

总结起来简单的描述就是：数学是基于集合论的无矛盾的符合数理逻辑推理规则的公理化体系。但这决不意味这是数学的定义，甚至这句话本书就是错的，事实上我们事先都不知道集合是什么，以及何为正确的推理——数理逻辑推理规则是什么。注意，如果这个体系本身是无矛盾的从其自身是无法证明的（注意到哥德尔不完全性定理）。ZFC公理不超过10条，也有可能出现公理不够用，也即存在这个体系无法证明的真命题，例如连续统假设，故完全可能需要添加公理。

所以数学永远也不会错误，但是也永远不属于科学，更不能等同于真理，甚至可以脱离客观实际，例如 ZF0: 空集是存在的，即存在一个一无所有的集，那它在现实里是什么呢？真空吗，真空难道就什么也不是什么也没有吗？

有人说实践是检验真理的唯一标准。那它能检验数学吗？当然是不能，说能的人肯定没有真正认识数学的本质。数学不是实际存在的，它是作为科学的工具而间接起作用，实践只能检验科学，如果检验不通过，错误的也不会是数学，而只能是最初的科学假设，发展数学的目的也是为了给科学提供工具，工具不够用则需要发展。衡量数学的价值很简单，如果以数学为工具的科学有用那数学就有用，这种工具威力越大它越有用，例如微积分，否则没有。另外也不是所有人学习数学都会考虑它有没有用，如果你问数学有啥用，那你可以向欧几里得要一枚硬币。

最后，Rudin的书为何没有几何图形，因为分析里的证明的根本不依赖直观的几何（即使你可以画一个图形去辅助你思考）。当然拓扑学这种完全就是数学了，因为它只依赖于集合论。尽管我们会说实直线、复平面、欧式空间，但他们显然是R，C=R^2，R^n，完全就是集合。绝对不是指现实世界中的直线，或者平面。如果是提到R你可以联想到直线，那么提到局部紧豪斯多夫空间你能联想到什么呢？