不可能引发的思考

P.P.S.相关推荐《数学天书中的证明》、《度量：一首献给数学的情歌》（也是图灵新知系列）、《数学恩仇录》。关于剪拼问题，也就是等面积变换，我看到过最好的证明过程在《平面几何经典著作钩沉》的最后一部分。

P.S.有能力希望仔细看看注释，真的很重要。

很久很久都没有看到不错的纯数学史类书籍了，据作者说目标受众是有一般高中数学基础的人，看故事是足够了，要想感悟并理解需要不少课本外的知识。我一直觉得讲数学不谈历史实在可惜，我们数学专业的数学史课程也很敷衍。这本书的选题角度，研究广度深度都很合适，译者注看起来比较用心（书中有一些小错误我列在最后了）。

书

这几个如此古老的问题想要溯源是极为困难的，它们流传已久自然少不了故事以及应用，第一章中很重要很重要的点明了“想要证明这四个问题的核心”——代数化，将作图题转化为作出指定长度的线段，详细思路放在了比较后面说明。4×4的数字华容道（书中称为数字推盘）用逆序数来证明存在无解的方式尤其是图论相关内容，让我们意识到数学各分支可能是相通的。

第三章简单介绍了几何原本的内容组成，它并不是百科全书这很重要，它只是从少量定义出发用逻辑推演构建几何大厦，这里给我们一个很重要的启示——我们的工具会越来越多，不需要每次都从零开始。其实很多错误的出现都是对尺规作图规则的不理解，主要在两点：不可保留张角的圆规、不可标记刻度的直尺。第五章倍立方根，据说有人给出了圆锥曲线的解法，这是极其有开创性的，直圆锥和斜圆锥的区别在阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》有讲（我们现在的学校课本内全部都是直圆锥），抛物线、木工角尺、无法操作的近似理论解等等，这问题引发人们广泛的思考。

π应该算是最常见的无理数了，且常常在意想不到的收敛级数中出现，各地古典数学中给出五花八门的近似方式，难得有一本外国人写的书能如此重视《九章算术》的成就，也确实它是一本应用类的书而非纯数学。第七章开始证明难度陡增，思考题也在注释中给出了解答，我对多边形和五个半月形的转化很感兴趣，会另外写一篇日记。看起来很显然的结论想要严格的用数学语言表述并证明未必是个简单的事，哪怕是用反证法。

书中一直讲四个问题，第九章也说：作正多边形一般不被单独拿出来讲，因为它可其它问题有一定重合。几何原本第四卷的命题11是在圆里做内接正五边形，阿基米德的正七边形，高斯的正十七边形，计算机的绘图过程与一些包络线、Lissajous曲线同样优美。此时对四个问题的基本阐述已经足够，尝试用更多的工具来解决问题，发现正七边形作图法的就是提出韦达定理人。

第十一章开始本书又上升了一个难度层次，割圆曲线，蚌线，涡线和螺线等曲线工具，说到工具这里，我正在试图翻译一本很有趣的书，里面介绍了神奇的连杆系统。彭赛列的说法是把注意力转为关注可作图的点，关于证明过程书中没有详细的讲，我曾在Matrix67大牛的博客中看到过，感兴趣可以去搜索。

我对图书第200页希尔伯特论述的平面变换不是很清楚，原书参考资料可能是Mathematics and Logic. By M. Kac and S. M. Ulam.

你可以在z-library找到原版

然后你可以在这里试读到参考资料。

第十三章开始从三次方程的斗争（可以看另外一本书《数学恩仇录》很有趣）与韦达定理的发现，联系代数与几何的关系。韦达、笛卡尔等人的研究，从作图变为研究“可”作图，进而形成一个可作图的数域。反向限制条件像马斯切罗尼的单规作图、锈规、牙签等等，都已被证明与一般尺规等价。后面的内容逐渐复杂，我们未必能知道一种构造怎么想的，只能通过证明承认它是正确有效的。积分与级数的发展时如此迅速，复数的扩充让数系更加完整，这里也有许多数论经典定理。数学就是这样，对任何一个问题的研究都有可能衍生出神奇的结果。

每章的闲话科妄部分简直笑死了，总有所谓民间科学家生成自己解决了问题，且不承认有错误。列举了九个经典的不可能问题、第一次数学危机等名场面。家中算π值有很多神奇的方法，譬如投针，甚至可以像求摆线下面积一样打一块铁板去称重。折纸几何讲述的不多，而且成就以日本最为著名，事实上利用折纸公理，可以解决所有的三大几何难题。

摸鱼并未细究，浅提两处小错误。 P165的图注中“正五边形”应为“正七边形”。 P402的注释3少了方括号。