勒·柯布西耶的模度（modulor）理论的数学解释及其应用
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模度（modulor）是勒·柯布西耶发明的一种理论，其目标是根据人体尺度优化建筑设计。本文将对这一理论的数学模型进行讲解，并简单介绍它的一些应用。
红尺和蓝尺（R数列和B数列）
模度系统的基础是两组数列，红尺（Red series，下文用R表示）和蓝尺（Blue series，下文用B表示）。下表给出了这两组数列前14项的值。
（注意数列的起始项是R_{-11}和B_{-11}，不是R_0和B_0）
上述数列的基础是R_0和B_0。R_0是一个身高6英尺的成年男子的脐高（1130mm），B_0是该男子举手时指尖距离地面的高度（2260mm）。随后根据黄金分割比Φ = (1+√5) / 2生成其他项，并进行适当的舍入：
R_n ≈ R_0 * Φ^n
B_n ≈ B_0 * Φ^n
根据B_0 = 2 * R_0的关系，以及Φ的性质：
Φ + Φ^2 = Φ^3
1/Φ^2 + 1/Φ = 1
1/Φ^3 + 2/Φ^2 = 1
1/Φ^2 + Φ = 2
可以推导出R数列和B数列的下列性质（具体证明见附录）：
R_{n-1} + R_{n-2} = R_n
B_{n-1} + B_{n-2} = B_n
R_{n-3} + B_{n-2} = R_n
R_{n-2} + R_{n+1} = B_n
R_n + R_n = B_n
通过上述性质，容易看出，R数列所有项构成的集合{R_{-11}, R_{-10}, … R_0, R_1, …, R_∞}和B数列所有项构成的集合{B_{-11}, B_{-10}, … B_0, B_1, …, B_∞}都对加法封闭。
“模度人”解读
了解R和B数列的性质之后，就容易理解模度人的图示了。
上图的整个正方形边长为2260mm（即B_0），边长的1/2为1130mm（即R_0），通过图中的人形，很容易看出这两个基础长度的含义。
图中间垂直重复的红蓝梭形的含义则没有那么显然。不过，很容易看出，这些梭形是以两个为一组重复的，每组的长度相同，且长度从下向上逐渐增加。实际上，这些长度都是R数列中的项。下表说明了图中各个刻度对应的数列中的具体项：
左侧每条红色弧线的长度是R数列中相邻两项之和，恰好也是R数列中的项；而右侧的每条蓝色弧线是R数列中每一项的2倍，即B数列中的对应项。
进一步地，根据R和B数列的性质，容易发现左侧R数列和右侧B数列各项累加后的结果仍然是R和B中的项（证明见附录）。
总之，这个图形的确设计得相当精巧。
模度理论的应用
Panel Exercise 1
书中的Panel Exercise 1给出了模度理论的一种应用：根据上述数列性质，对宽和高都是R或B数列中的项的矩形进行递归分割。
长度为R_n和B_n的边分别有4种和5种分割方案：
R_n = R_{n-1} + R_{n-2} R_{n-1} : R_{n-2} = 0.618 : 1
R_n = R_{n-2} + R_{n-1} R_{n-2} : R_{n-1} = 1.618 : 1
R_n = R_{n-3} + B_{n-2} R_{n-3} : B_{n-2} = 0.309 : 1
R_n = B_{n-2} + R_{n-3} B_{n-2} : R_{n-3} = 3.236 : 1
B_n = B_{n-1} + B_{n-2} B_{n-1} : B_{n-2} = 0.618 : 1
B_n = B_{n-2} + B_{n-1} R_{n-2} : R_{n-1} = 1.618 : 1
B_n = R_{n+1} + R_{n-2} R_{n+1} : R_{n-2} = 4.236 : 1
B_n = R_{n-2} + R_{n+1} R_{n-2} : R_{n+1} = 0.236 : 1
B_n = R_n + R_n R_n : R_n = 1 : 1
代入R_n和B_n的通项公式即可推出上述关系，具体证明略。
下图给出了将各类矩形进行一次分割后的所有可能性：
其中矩形填充颜色的含义是：
- 红色：高∈R AND 宽∈R
- 黄色：高∈R AND 宽∈B
- 绿色 = 高∈B AND 宽∈R
- 蓝色：高∈B AND 宽∈B
按照上述方法对子矩形继续分割，可以得到类似下图的结果：
不妨设最左边的正方形的边长是B_0，则最靠上的路线的分割过程为：
- 水平方向：
B_0 = R_1 + R_{-2} (4.236:1) - 左侧矩形垂直方向：
B0 = R_1 + R_{-2} (4.236:1) - 右侧矩形垂直方向：
B0 = R_1 + R_{-2} (4.236:1)
其他路线的分割过程类似。
通过这样的递归分割过程，可以得到柯布西耶在书中列出的这些分割结果（中的大部分，其中有些不符合上述分割规律，可能是为了美观，详见[1]）：
此处我尝试给出其中几个图的分割路线。
下图给出了得到上图第3行第6列的分割结果的其中一种过程：
下图给出了得到第4行第7列的分割结果的其中一种过程（对一些类似的步骤进行了合并）：
这种对矩形的分割看起来像某种数学游戏。一方面，柯布西耶的数学水平还挺不错的；另一方面，这终究只是一种数学工具而已，有点用，但过于僵化，如果只是僵化地运用，就没什么用。
比如说，柯布西耶自己做的这些分割看起来就比较有美感：
而用电脑随机搜索出来的这些分割就很一般：
就算我们用人工智能之类的方法使得计算机能够搜索出更好的搭配，这些正方形分割又有什么用处呢？似乎并没有什么实际用处，最多能辅助平面设计。
马赛公寓的房间设计
柯布西耶在马赛公寓的各个方面都充分应用了模度理论，包括但不限于总体规划、公寓内部、家具、楼顶，底层立柱等等。为了简单起见，这里只谈一下公寓内部的房间设计。
书中的说明是这样的：
根据上述文字说明在上述俯视图和剖面图上做了更清晰的标注：
显然，图中标注的很多尺寸都来自R和B数列。
由于我并不懂建筑，就不做进一步的分析了。
附录
R数列和B数列的性质推导过程
即下列5条性质的推导过程：
R_{n-1} + R_{n-2} = R_n (1)
B_{n-1} + B_{n-2} = B_n (2)
R_{n-3} + B_{n-2} = R_n (3)
R_{n-2} + R_{n+1} = B_n (4)
R_n + R_n = B_n (5)
R数列和B数列的累加结果
定义S_n = R_{-11} + (R_{-12} + R_{-11} + ... +R_n) (n ≥ -12)，容易得到：
S_n = S_{n-1} + R_{n}
S_{-12} = R_{-11} + R_{-12} = R_{-10}
S_{-11} = S_{-12} + R_{-11} = R_{-10} + R_{-11} = R_{-9}
S_{-10} = S_{-11} + R_{-10} = R_{-9} + R_{-10} = R_{-8}
...
S_{-2} = S_{-3} + R_{-2} = R_{-1} + R_{-2} = R_{0}
即S_n = R_{n+2}，S_n均为R数列中的项。
B数列同理：定义T_n = B_{-11} + (B_{-12} + B_{-11} + ... + B_n) (n ≥ -12)，容易得到T_n = B_{n+2}，T_n均为B数列中的项。
参考文献
[1] Watanabe, S. (2019). Exploring the panel exercises of modulor presented by Le corbusier. Journal of Architecture and Planning (Transactions of AIJ), 84(766), 2679–2686. https://doi.org/10.3130/aija.84.2679
