黑天鹅与分形数学

『I'd rather have the opinion of a trader than a mathematician.』 - 格林斯潘。

所谓黑天鹅，是指具备了以下三个特征的事件：
－ 不可预测，人们事前往往低估其发生的可能性
－ 造成极大影响
－ 事后回头再看，又觉得此事发生的有理

比如最近的金融危机，就是一次典型的黑天鹅事件。本书作者对目前学术界使用的"统计方法"和经济学家们玩的那些模型非常愤慨，认为这些东西只有学术上的意义，而完全不能指导实际生活。现在的主流经济学，基本上等同于古典热力学统计物理，只适合研究平衡态。

我看了对此书的很多书评，发现中国读者似乎仅仅被书中所描写的"我们低估了黑天鹅事件"这个结论所吸引。其实这一点只不过是老生长谈，关于普通人的思维局限性有很多书都多有描写。比如普通人不能合理了解随机事件这一点，《The Drunkard's Walk: How Randomness Rules Our Lives》(by Leonard Mlodinow) 写的更好。

此书写的有一点罗嗦，其真正的的精华思想，完全可以写在一页纸上：

传统的社会学家和经济学家喜欢用高斯正态分布来描写随机事件，然而我们的生活中大量事件却不是正态分布的。比如畅销书的销量，富人的财富，其极端例子都比正态分布预测的多得多。正态分布，描写的是一个大致均匀的世界。然而不平等是我们这个世界的本质属性。

我们的世界的很多分布是 power law 分布。这个分布所预言的极端情形的概率，比正态分布要高的多。这就是为什么一般人往往会低估黑天鹅出现的概率。所谓的"80－20法则"，其实就是这个不均匀分布的特点。

Power law 分布，与分形数学紧密结合。实际上如果你考察畅销书作家的成绩，或者富人财富的分布，你会发现其结构是分形的：每4个身价超过1亿美元的富人中，会有一个身价超过10亿的，而每4个身价超过10亿的人中，又会有一个超过100亿的。100亿级别富人看10亿级别富人，就好想10亿级别富人看1亿级别富人一样。也就是说分形结构带来了 power law。尽人皆知的分形科学创始人，Mandelbrot，是本书作者的朋友。本书作者不喜欢 Mandelbrot 用"自相似"（self-similar）来描写分形，因为这个 power law 系数可以相当不精确，作者提出用"self-affine"来描写这个现像。

那么哪些随机编变量满足普通的高斯分布，哪些满足 power law 呢？Power law 随机变量有两个重要特点：

－1－ Scalable. 比如如果你上班拿工资，你就不是 scalable 的，因为你的财富取决于你工作时间的长短，而你的工作时间是绝对有限的。反过来说如果你写书，那么你就是 scalable 的，你写一本书，这本书可以的销量可以无穷大。黑天鹅变量因为可以很极端，所以一定是 scalable的。Scalable, 意思就是可以随便做大数乘法。

－2－ 具有self-reinforcing 的特征。也就是说越富有的人，越容易赚到更多的钱；越出名的作家，书越容易卖，然后正反馈，作家就更出名。财富的增加几率随着财富本身的增大而增大。正是这个性质决定了 power law 的分布。

作者说，凡是可以用分形和 power law 来估计的黑天鹅，都称之为"灰天鹅"。而另有一些黑天鹅，则没有数学模型可以预测。不过他并没有深入分析那些黑天鹅。

主流经济学家沉迷于高斯分布，连 power law 都学不会。比如所谓"组合投资"的数学，全是高斯分布。作者鄙视现在的经济学，指出诺贝尔后人认为瑞典银行设经济奖纯粹是经济学家们故意抬高自己的学科。现在的商学院里充斥着高斯分布，其实高斯本人反而没拿它当回事。经济学是个很落后的科学。

本书的主要思想差不多就是这样，以下谈谈我的看法。

其实物理学家早就在搞 power law 了，比如带电粒子的费米加速。甚至包括解释为什么城市人口分布是 power law，也是物理学家搞明白的。

有好事者曾经用本书作者提倡的投资方法，也就是说说大部分资金买无风险债券，小部分买高风险，用过去的数据做过模拟实验，发现表现还不如传统组合投资方法。不知道现在赶上金融危机，是否作者的方法大获全胜了。

对于想要赚大钱的人来说，本书的意义不是"怎么防范黑天鹅"，而是"怎么把自己变成黑天鹅"。要点就是上面提到的两条，一个是 scalable，一个是要有正反馈。

最后，当前的经济学新思潮，其实就是脱离传统的平衡态经济学。作者对全体经济学家进行攻击是不公正的，其实有很多经济学家正在往非平衡态上努力。而物理学家更早已经先行一步了。因此我不认为此书具有革命性。