代数学习题集

第一部分 代数学基础 1
第一章 集合和映射 3
§1. 子集的运算. 元素数目的计算 3
§2. 映射和子集的数目的计算, 二项式系数 4
§3. 置换 6
§4. 递推关系. 归纳法 10
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第一部分 代数学基础 1
第一章 集合和映射 3
§1. 子集的运算. 元素数目的计算 3
§2. 映射和子集的数目的计算, 二项式系数 4
§3. 置换 6
§4. 递推关系. 归纳法 10
§5. 求和 13
第二章 算术空间和线性方程组 15
§6. 算术空间 15
§7. 矩阵的秩 18
§8. 线性方程组 22
第三章 行列式 31
§9. 2 阶和 3 阶行列式 31
§10. 展开行列式. 归纳定义 32
§11. 行列式的基本性质 33
§12. 按照一行或一列的元素展开行列式 36
§13. 借助初等变换计算行列式 38
§14. 计算特殊行列式 41
§15. 矩阵乘积的行列式 42
§16. 附加的习题 44
第四章 矩阵 49
§17. 矩阵的运算 49
§18. 矩阵方程. 可逆矩阵 53
§19. 特殊矩阵 58
第五章 复数 61
§20. 复数的代数式 61
§21. 复数的三角式 62
§22. 复数的根. 分圆多项式 65
§23. 借助复数计算和与积 68
§24. 复数和平面几何 70
第六章 多项式 73
§25. 带余除法. Euclid 算法 73
§26. 特征为 0 的域上的单根和重根 75
§27. 在 R 和 C 上的素分解 77
§28. 有理数域和有限域上的多项式 78
§29. 有理分式 81
§30. 插值 82
§31. 对称多项式. Vieta 公式 83
§32. 结式和判别式 88
§33. 根的分离 90
第二部分 线性代数与几何 93
第七章 向量空间 95
§34. 向量空间的概念. 基 95
§35. 子空间 98
§36. 线性函数和线性映射 103
第八章 双线性和二次函数 107
§37. 一般的双线性和半双线性函数 107
§38. 对称双线性函数, Hermite 函数和二次函数 115
第九章 线性变换 121
§39. 线性变换的定义. 像, 核, 线性变换的矩阵 121
§40. 特征向量, 不变子空间, 根子空间 124
§41. Jordan 标准形及其应用. 最小多项式 129
§42. 赋范向量空间和代数, 非负矩阵 134
第十章 度量向量空间 139
§43. 度量空间的几何 139
§44. 伴随变换和正规变换 146
§45. 自伴随变换. 二次型化简到主轴上 150
§46. 正交变换和酉变换. 极分解 153
第十一章 张量 159
§47. 基本概念 159
§48. 对称张量和斜称张量 162
第十二章 仿射几何, Euclid 几何和射影几何 165
§49. 仿射空间 165
§50. 凸集 170
§51. Euclid 空间 175
§52. 二次超曲面 180
§53. 射影空间 186
第三部分 基本代数结构 191
第十三章 群 193
§54. 代数运算. 半群 193
§55. 群的概念. 群的同构 194
§56. 子群. 群的元素的阶. 陪集 199
§57. 群在集合上的作用. 共轭关系 204
§58. 同态和正规子群. 商群, 中心 209
§59. Sylow 子群. 小阶群 213
§60. 直积与直和. Abel 群 216
§61. 生成元和定义关系 221
§62. 可解群 225
第十四章 环 229
§63. 环和代数 229
§64. 理想, 同态, 商环 235
§65. 特殊代数类 244
§66. 域 249
§67. 域扩张. Galois 理论 253
§68. 有限域 263
第十五章 表示论初步 267
§69. 群的表示. 基本概念 267
§70. 有限群的表示 272
§71. 群代数和它们的模 276
§72. 表示的特征标 280
§73. 连续群的表示的初始知识 285
答案和提示 289
理论知识 417
§I. 仿射几何和 Euclid 几何 417
§II. 二次超曲面 419
§III. 射影空间 421
§IV. 张量 422
§V. 表示论初步 423
定义汇总 427
符号表 437
· · · · · · (收起)