研究雜記01. Numerical Methods
此篇教學將快速代入數值方法之概念並著重在實作方法，可能沒有嚴謹之內容證明與描述。
Buck converter numerical methods examples (with Python)
https://colab.research.google.com/drive/1D6QX3_nmWHTLyygglZMVZ3SbrC1nC4Cb?usp=sharing
前言
在工程上需要數值方法(Numerical Methods)之原因在於，我們通常能夠使用微分方程式來對系統建模，需要知道系統動態響應時，就必須求解微分方程，但一般可能很難甚至無法求解出微分方程式之解析解(顯解或隱式解)。或者在特殊情況下，我們只需要數值結果，並不需要解析解的形式。另一是得力於近年電腦計算機功能強大，可以快速做數值運算，相較於人力解出解析解，利用電腦求得數值解之速度可能快上很多。綜上，我們就會使用數值方法來幫助我們進行求解。
常見的數值方法有尤拉法(Euler’s Method)、改進尤拉法(Improved Euler’s Method)、龍格－庫塔法 (Runge–Kutta Method)，這三種屬於一階方法，即只需要建立一次導數就可以進行運算。本文也將針對三種方法進行介紹。
Euler’s Method
首先，方法本身都是離散近似的概念，所以結果必定有誤差。離散時間間隔，或者說取樣週期(sampling period)越短，則結果越接近真實解。但相對來說，同一時間窗框下運算量越大。是必要在求解精度以及運算時間兩者間進行trade-off。
聽到Euler應該就知道這個方法不一般，肯定很巧妙。它本質上是利用了泰勒展開式的概念去對一函數做一階近似(即利用二維空間斜率之概念)。而微分方程的意義本身就是變化量，所以我們知道了微分方程，基本上就掌握了未來的資訊量，可以在給定的條件下(初值，Initial condition以及邊界，Boundary condition)預測出函數未來的長相，這也是為甚麼可以不需要知道解析解，即可找出系統動態的原因。
以下這條就是Euler’s method的關鍵公式：
再來只要設定好取樣週期(sampling period, td)與初值(initial condition)
透過演算法疊代，即可得到n個時間間隔後的數值。
若使用圖解可以很明確的知道每次疊代之間的關係，也可以了解到error是如何產生的，因為error將影響到下次疊代之起始點，所以error會累積，若誤差過大有可能導致系統發散。
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若想提高精度，最簡單的方式是減小取樣間隔td，但此法會導致運算量上升，有沒有不減小td但仍能提升精度的方法呢 ?
答案是有的，從圖解中可看出誤差發生的原因為用此時刻的斜率估算下一組點，但由於系統不是線性的，所以斜率估算不準確，若仍夠修正斜率，或者找到一個能夠代表"真實兩點"之間斜率情況的數學運算，我們便可以降低誤差，達到更準確的數值解，故此衍生出Improved Euler’s Method。
Improved Euler’s Method
剛剛有提到的關鍵在於修正斜率，Improved Euler’s Method便是使用滾動式修正，利用新預測出來的點，得到一組新的斜率，再與起始點的斜率平均，獲得一組可以代表兩點間斜率的一種方法(先預測斜率的概念)，最後以此修正過的斜率預測出新的點。等於重複做兩次Euler’s Method。
Runge–Kutta Method
簡稱RK Method，也是一樣利用修正斜率的概念達到更準的數值解。開始引入統計的感覺，利用加權平均觀念得到修正後斜率，來預測新的點。
一般式如下：
Euler’s Method 稱為 First-order Runge-Kutta method (RK1)
Improved Euler’s Method 稱為 Second-order Runge-Kutta method(RK2)
常用之RK4方法：
通常使用到RK4就很準了
