修正了文档中数学公式无法显示的问题

Author: jackfrued

Day01-20/05.分支结构.md

@@ -231,7 +231,7 @@ print('状态码描述:', description)
 有如下所示的分段函数，要求输入`x`，计算出`y`。
 
 $$
-y = \begin{cases} 3x - 5, & (x \gt 1) \\ x + 2, & (-1 \le x \le 1) \\ 5x + 3, & (x \lt -1) \end{cases}
+y = \begin{cases} 3x - 5, & (x \gt 1) \\\\ x + 2, & (-1 \le x \le 1) \\\\ 5x + 3, & (x \lt -1) \end{cases}
 $$
 
 ```python

Day66-80/71.NumPy的应用-4.md

@@ -30,7 +30,7 @@ $$
 \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix}
 $$
 
-向量的加法满足“平行四边形法则”，即两个向量$\boldsymbol{u}$和$\boldsymbol{v}$构成了平行四边形的两条邻边，相加的结果是平行四边形的对角线，如下图所示。
+向量的加法满足“平行四边形法则”，即两个向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和 $\small{\boldsymbol{v}}$ 构成了平行四边形的两条邻边，相加的结果是平行四边形的对角线，如下图所示。
 
 <img src="res/vector_2.png" style="zoom:58%;">
 
@@ -51,7 +51,10 @@ $$
 
 $$
 \boldsymbol{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}, \quad
-\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \quad \\
+\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \quad
+$$
+
+$$
 \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \sum_{i=1}^{n}{u_iv_i} = \lvert \boldsymbol{u} \rvert \lvert \boldsymbol{v} \rvert cos\theta
 $$
 
@@ -70,7 +73,10 @@ $$
 如果现在我们需要向刚才的用户推荐一部电影，我们应该给他推荐哪一部呢？我们可以将代表用户的向量 $\small{\boldsymbol{u}}$ 和代表电影的向量 $\small{\boldsymbol{m_{1}}}$ 和 $\small{\boldsymbol{m_{2}}}$ 分别进行点积运算，再除以向量的模长，得到向量夹角的余弦值，余弦值越接近 1，说明向量的夹角越接近 0 度，也就是两个向量的相似度越高。很显然，我们应该向用户推荐跟他观影喜好相似度更高的电影。
 
 $$
-cos\theta_1 = \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{m1}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{m1}|} \approx \frac{4 \times 5 + 5 \times 1 + 3 \times 1}{5.92 \times 6.48} \approx 0.73 \\
+cos\theta_1 = \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{m1}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{m1}|} \approx \frac{4 \times 5 + 5 \times 1 + 3 \times 1}{5.92 \times 6.48} \approx 0.73
+$$
+
+$$
 cos\theta_2 = \frac{\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{m2}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{m2}|} \approx \frac{5 \times 5 + 1 \times 1 + 3 \times 5}{5.92 \times 7.14} \approx 0.97
 $$
 
@@ -89,14 +95,20 @@ print(np.dot(u, m2) / (np.linalg.norm(u) * np.linalg.norm(m2)))  # 0.97043119007
 在二维空间，两个向量的叉积是这样定义的：
 
 $$
-\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix} \\
+\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}
+$$
+
+$$
 \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} = a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}
 $$
 
 对于三维空间，两个向量的叉积结果是一个向量，如下所示：
 
 $$
-\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} \\
+\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix}
+$$
+
+$$
 \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat{i}} \quad \boldsymbol{\hat{j}} \quad \boldsymbol{\hat{k}} \\ a_{1} \quad a_{2} \quad a_{3} \\ b_{1} \quad b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix} = \langle \boldsymbol{\hat{i}}\begin{vmatrix} a_{2} \quad a_{3} \\ b_{2} \quad b_{3} \end{vmatrix}, -\boldsymbol{\hat{j}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{3} \\ b_{1} \quad b_{3} \end{vmatrix}, \boldsymbol{\hat{k}}\begin{vmatrix} a_{1} \quad a_{2} \\ b_{1} \quad b_{2} \end{vmatrix} \rangle
 $$