Lakatos Imre. Αποδείξεις και Ανασκευές
ή
Lakatos Imre. Αποδείξεις και Ανασκευές
Πρόλογος των εκδοτών (της αγγλικής έκδοσης)
Ευχαριστίες
Εισαγωγή τον συγγραφέα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1. Ένα πρόβλημα και μια εικασία
2. Μια απόδειξη
3. Κριτική της απόδειξης με αντιπαραδείγματα τοπικά αλλά όχι καθολικά
4. Κριτική της εικασίας με καθολικά αντιπαραδείγματα
α. Απόρριψη της εικασίας — Η μέθοδος της παραίτησης
β. Απόρριψη του αντιπαραδείγματος — Η μέθοδος της εκδίωξης τεράτων
γ. Βελτίωση της εικασίας με τη μέθοδο του αποκλεισμού των εξαιρέσεων — Τμηματικοί αποκλεισμοί - Στρατηγική υποχώρηση ή επιδίωξη της ασφάλειας
δ. Η μέθοδος της εξημέρωσης των τεράτων
ε. Βελτίωση της εικασίας με τη μέθοδο της ενσωμάτωσης των λημμάτων — Θεωρήματα εξ αποδείξεων και αφελείς εικασίες
5. Κριτική της αποδεικτικής ανάλυσης με αντιπαραδείγματα καθολικά αλλά όχι τοπικά — Το πρόβλημα της αυστηρότητας
α. Η Εκδίωξη των τεράτων προς Υπεράσπιση του θεωρήματος
β. Κρυμμένα λήμματα
γ. Η μέθοδος της απόδειξης και των ανασκευών
δ. Απόδειξη και αποδεικτική ανάλυση — Η σχετικοποίηση των εννοιών του θεωρήματος και της αυστηρότητας στην αποδεικτική ανάλυση
6. Επιστροφή στη κριτική της απόδειξης με τοπικά αλλά όχι καθολικά αντιπαραδείγματων — Το πρόβλημα του περιεχομένου
α. Επαύξηση του περιεχομένου με βαθύτερες αποδείξεις
β. Επιδιώκοντας οριστικές αποδείξεις και αντίστοιχες ικανές και αναγκαίες συνθήκες
γ. Διαφορετικές αποδείξεις παράγουν διαφορετικά θεωρήματα
7. Επάνοδος στο πρόβλημα του περιεχομένου
α. Η αφέλεια της αφελούς εικασίας
β. Η επαγωγή ως βάση για τη μέθοδο των αποδείξεων και των ανασκευών
γ. Παραγωγικές και αφελείς μαντείες
δ. Εμπλουτίζοντας το περιεχόμενο με την παραγωγική μαντική
ε. Λογικά και ευρετικά αντιπαραδείγματα
8. Σχηματισμός εννοιών
α. Ανασκευή με τη διαστολή των εννοιών — Επανεκτίμηση της εκδίωξης των τεράτων — Οι έννοιες του λάθους και της ανασκευής
β. Έννοιες αφελούς και αποδεικτικής καταγωγής — Αφελείς και θεωρητικές ταξινομήσεις
γ. Λογικές και ευρετικές ανασκευές: μια επανεξέταση
δ. Θεωρητική και αφελής διεύρυνση εννοιών — Αντιπαράθεση συνεχούς και κριτικής ανάπτυξης
ε. Όρια στην επαύξηση του περιεχομένου — Θεωρητικές και αφελείς ανασκευές
9. Πώς η κριτική μπορεί να μετατρέψει τη μαθηματική αλήθεια σε λογική αλήθεια
α. Η απεριόριστη διαστολή των εννοιών καταστρέφει νόημα και αλήθεια
β. Η μετριοπαθής διαστολή εννοιών μπορεί να μετατρέψει μια μαθηματική αλήθεια σε λογική αλήθεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
Εισαγωγή των εκδοτών (της αγγλικής έκδοσης)
1. Η μετάφραση της εικασίας σε «πλήρως γνωστούς» όρους της γραμμικής άλγεβρας. Το πρόβλημα της μετάφρασης
2. Ακόμα μία απόδειξη της εικασίας
3. Αμφιβολίες για την οριστικότητα της απόδειξης — Η διαδικασία της μετάφρασης — Η ουσιοκρατική και ονοματοκρατική προσέγγιση των ορισμών
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι
Άλλη μια ανάλυση περίπτωσης για τη μέθοδο των αποδείξεων και ανασκευών
1. Η υπεράσπιση από τον Cauchy της «αρχής της συνέχειας»
2. Η απόδειξη του Seidel και η αποδεικτικής καταγωγής έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης
3. Η μέθοδος του αποκλεισμού των εξαιρέσεων του Abel
4. Εμπόδια στην ανακάλυψη της μεθόδου της αποδεικτικής ανάλυσης
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ II
Αντιπαράθεση παραγωγικής και ευρετικής μεθόδου
1. Η παραγωγική μέθοδος
2. Η ευρετική μέθοδος — Έννοιες αποδεικτικής καταγωγής
α. Ομοιόμορφη σύγκλιση
β. Φραγμένη μεταβολή
γ. Ο ορισμός του Καραθεοδωρή για τα μετρήσιμα σύνολα
Βιβλιογραφία
Για τους φίλους μαθηματικούς (και όχι μόνο).
