μαθηματικά Quotes

“Είναι μελαγχολική εμπειρία για έναν κατ' επάγγελμα μαθηματικό να βρεθεί στην θέση να γράφει για τα Μαθηματικά. Η λειτουργία ενός μαθηματικού είναι να δημιουργεί, να αποδεικνύει νέα θεωρήματα, να προσθέτει καινούργια πράγματα στα Μαθηματικά· και όχι να μιλά για τα επιτεύγματα του ίδιου ή άλλων μαθηματικών. Οι δημόσιοι άνδρες απεχθάνονται τους εκδότες, οι ζωγράφοι τους κριτικούς τέχνης, και οι γιατροί, οι φυσικοί, ή οι μαθηματικοί τρέφουν συνήθως για διάφορους παρόμοια συναισθήματα. Δεν υπάρχει πιο μεγάλος ψόγος, ή, εν γένει πιο δικαιολογημένος, από αυτόν που έχουν οι άνθρωποι που δημιουργούν για τους ανθρώπουν που αναλύουν. Η παρουσίαση, η κριτική, η εκτίμηση ενός πράγματος, θεωρείται έργο για μυαλά δευτέρας κατηγορίας.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Αν η περιέργεια του πνεύματος, η επαγγελματική υπερηφάνεια και η φιλοδοξία είναι τα κύρια κίνητρα για την έρευνα, τότε σίγουρα κανείς δεν έχει πιο καλή ευκαιρία να τα ικανοποιήσει απ' ό,τι ένας μαθηματικός. Το αντικείμενό του είναι το πιο περίεργο απ' όλα - δεν υπάρχει κανένα άλλο στο οποίο η αλήθεια να παίζει τόσο παράξενα παιγνίδια. Το αντικείμενο αυτό έχει την πιο εκλεπτυσμένη και γοητευτική τεχνική, και δίνει ασυναγώνιστες ευκαιρίες για την επίδειξη μιας ανώτερης επαγγελματικής ικανότητας. Τελικά, όπως αποδεικνύει κατά πολλούς τρόπους η Ιστορία, τα μαθηματικά επιτεύγματα, ανεξάρτητα από την εγγενή τους αξία, αντέχουν στο χρόνο περισσότερο απ' όλα τα άλλα.
Μπορούμε να το δούμε αυτό, ακόμη και στους πρώιμους πολιτισμούς της Ιστορίας. Ο Βαβυλωνιακός και ο Ασσυριακός πολιτισμός έχουν χαθεί· ο Χαμουραμπί, ο Σαργκόν και ο Ναβουχοδονόσωρ είναι σκέτα ονόματα. Κι όμως, τα βαβυλωνιακά Μαθηματικά είναι ακόμη και σήμερα ενδιαφέροντα, και το βαβυλωνιακό σύστημα αρίθμησης με βάση το 60 χρησιμοποιείται ακόμη στην Αστρονομία. Αλλά φυσικά, η κρίσιμη περίπτωση είναι εκείνη των Ελλήνων.
Οι Έλληνες είναι οι πρώτοι μαθηματικοί που εξακολουθούν να είναι «πραγματικοί» και για μας σήμερα. Τα Μαθηματικά της Ανατολής μπορεί να προκαλούν το ενδιαφέρον, αλλά στα ελληνικά βρίσκεται η ουσία του πράγματος. Οι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που μίλησαν με μια μαθηματική γλώσσα που μπορούν να την καταλάβουν οι σύγχρονοι μαθηματικοί. Όπως μου είπε κάποτε ο Littlewood, δεν πρόκειται για έξυπνους μαθητές σχολείου ούτε για «υποψήφιους υποτροφίας», αλλά για «Εταίρους από ένα άλλο πανεπιστήμιο». Έτσι, τα ελληνικά μαθηματικά είναι κάτι «μόνιμο», πιο μόνιμο και από την ελληνική Λογοτεχνία. Τον Αρχιμήδη θα τον θυμούνται ακόμη κι όταν ο Αισχύλος θά 'χει ξεχαστεί, επειδή οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι μαθηματικές ιδέες όχι. Η «αθανασία» μπορεί να είναι μια ανόητη λέξη αλλά, κατά πάσα πιθανότητα, ένας μαθηματικός έχει περισσότερες ευκαιρίες για ό,τι μπορεί αυτή να σημαίνει.
Ο μαθηματικός δε χρειάζεται σοβαρά να φοβάται ότι το μέλλον θα τον αδικήσει. Η αθανασία είναι συχνά γελοία ή βάρβαρη: λίγοι από εμάς θα διάλεγαν να είναι ο Ωγ ή ο Ανανίας ή ο Γαλλίων. Ακόμη και στα Μαθηματικά, η ιστορία παίζει καμιά φορά περίεργες φάρσες. Ο Rolle ποζάρει στα βιβλία του Στοιχειώδους Λογισμού σαν να ήταν ένας μαθηματικός του διαμετρήματος του Νεύτωνα. Ο Farey είναι αθάνατος επειδή απέτυχε να κατανοήσει ένα θεώρημα που ο Haros είχε ήδη αποδείξει πριν από 14 χρόνια. Τα ονόματα πέντε άξιων Νορβηγών βρίσκονται ακόμη στον _Βίο_ του Abel, μόνο εξ αιτίας μιας ενέργειας ενσυνείδητης βλακείας που συνετελέσθη, από τυπολατρεία, εις βάρος του μεγαλύτερου άνδρα της χώρας τους. Αλλά, συνολικά, η ιστορία της επιστήμης είναι δίκαιη, και αυτό ισχύει ιδιαίτερα στα Μαθηματικά. Κανένα άλλο αντικείμενο μελέτης δεν έχει τόσο καθαρά οριοθετημένα ή ομόφωνα αποδεκτά υψηλά κριτήρι, και οι μαθηματικοί που θυμόμαστε είναι σχεδόν πάντα αυτοί που το αξίζουν. Η μαθηματική δόξα, αν μπορούσε να εξαγοραστεί, θα ήταν μια από τις πιο υγιείς και σταθερές επενδύσεις.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology

“Στη συνέχεια, ακολουθεί το στάδιο της επαλήθευσης και του «τελειώματος». Σ' αυτή την τελική φάση της εργασίας, μπορεί να χρησιμοποιήσω αλγεβρικά σύμβολα. Πολύ συχνά, όμως, δεν τα χρησιμοποιώ με το συνήθη και κανονικό τρόπο. Δεν σπαταλώ χρόνο για να γράψω τις εξισώσεις πλήρως, με ενδιαφέρει μόνο να δω, ούτως ειπείν, πώς μοιάζουν. Αυτές οι εξισώσεις, ή κάποιοι όροι τους, συχνά διατάσσονται σε μια παράξενη και αλλόκοτη σειρά όπως οι ηθοποιοί σε μια σκηνή και με αυτό τον τρόπο μου «μιλούν» ενόσω εξακολουθώ να τις μελετώ. Αν όμως διακόψω την εργασία μου και συνεχίσω την επόμενη μέρα, ό,τι έχω γράψει με αυτό τον τρόπο είναι «νεκρό» για μένα. Γενικά, το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να πετάξω τα χαρτιά μου και να ξεκινήσω τα πάντα από την αρχή, εκτός αν έχω καταλήξει, την πρώτη μέρα, σ' έναν-δυο τύπους τους οποίους έχω επαληθεύσει πλήρως και μπορώ να τους χρησιμοποιήσω ως τύπους-κόμβους.”
― Jacques Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field

“Οι ιστορικοί που μελέτησαν την εντυπωσιακή ζωή του Évariste Galois μας αποκάλυψαν ότι, σύμφωνα με τη μαρτυρία ενός συμμαθητή του, από την εποχή του γυμνασίου ακόμη απεχθανόταν την ανάγνωση πραγματειών άλγεβρας, διότι δε μπορούσε να εντοπίσει σ' αυτές τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των επινοητών. Ο Drach, λοιπόν, η εργασία του οποίου εξάλλου σχετίζεται στενά με εκείνη του Galois, ακολουθεί τον ίδιο τρόπο προσέγγισης. Επιθυμεί πάντοτε να ανατρέχει ακριβώς στη μορφή με την οποία οι ανακαλύψεις παρουσιάστηκαν στους συγγραφείς τους. Αντίθετα, οι περισσότεροι μαθηματικοί που απάντησαν στην έρευνα των Claparède και Flournoy, όταν μελετούν οποιαδήποτε προγενέστερη εργασία, προτιμούν να την αναλύουν και να την επανανακαλύπτουν μόνοι τους. Αυτή είναι και η δική μου προσέγγιση, έτσι ώστε τελικά γνωρίζω σε κάθε περίπτωση μόνο έναν επινοητή, τον εαυτό μου.”
― Jacques Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field

“«Τι περίεργοι που είναι εδώ οι άνθρωποι, αν μπορεί να μιλήσει κανείς για ανθρώπους!» αναφώνησε η Αλίκη. «Και μιας και μιλάμε για παραξενιές, γιατί η Βασίλισσα έχει τέτοια λύσσα με τους κακόμοιρους τους πρώτους αριθμούς;»
«Γιατί δεν ακολουθούν κανένα κανόνα, και η Βασίλισσα είναι μια μανιακή των νόμων και της τάξης.»
«Τι πάει να πει αυτό, ότι δεν ακολουθούν κανένα κανόνα;»
«Τα πολλαπλάσια του 2 (που συμπίπτουν με τους ζυγούς αριθμούς) πάνε ανά δύο, τα πολλαπλάσια του 3 πάνε ανά τρία, κι αυτό γίνεται με όλους τους σύνθετους αριθμούς, δηλαδή όσους έχουν διαιρέτες. Αλλά οι πρώτοι αριθμοί δεν εμφανίζονται στη λίστα των αριθμών με κάποια τάξη: άλλοτε βρίσκουμε δύο πολύ κοντά τον έναν στον άλλο, όπως το 11 και το 13 για παράδειγμα, ή το 71 και το 73, κι άλλοτε δύο συνεχόμενοι πρώτοι αριθμοί απέχουν πάρα πολύ (πράγματι, όπως το εξήγησε πιο πριν η Βασίλισσα, μπορούμε να βρούμε πρώτους αριθμούς, όσο απομακρυσμένους μας κάνει κέφι). Άρα δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε εκ των προτέρων πότε εμφανίζονται οι πρώτοι. Μ' άλλα λόγια δεν υπάρχει κάποια συνταγή που να μας επιτρέπει να ξετρυπώσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς, ενώ για τους υπόλοιπους αριθμούς υπάρχει.»
[...]
«Κι αν δεν υπάρχει κανένας κανόνας για τους πρώτους αριθμούς, πώς μπορούμε να κάνουμε τον κατάλογό τους;», ρώτησε η Αλίκη.
«Αποκλείοντας όσους δεν είναι πρώτοι.»
«Με ποιον τρόπο;»
«Με τον ίδιο τρόπο που ξεχωρίζουμε την ήρα από το στάρι, το αλεύρι από το πίτουρο ή την άμμο από το χαλίκι: με ένα κόσκινο.»”
― Carlo Frabetti, Malditas matemáticas: Alicia en el país de los números

“Η εις άτοπον απαγωγή, που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού. Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπί. Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμη και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο το παιγνίδι.”
― G.H. Hardy, A Mathematician's Apology