Που θα μου χρειαστούν τα μαθηματικά στην καθημερινή ζωή?

O Jeremy Κun, καθηγητής των μαθηματικών, ρωτήθηκε μια ερώτηση που πολλοί μαθητές ρωτάνε κάθε χρόνο: «Πού θα χρησιμοποιήσω ποτέ όλα αυτά τα ημίτονα, συνημίτονα, ολοκληρώματα, και το υπόλοιπα από την άλγεβρα και τη γεωμετρία" Σε αντίθεση με την πλειονότητα των συναδέλφων του, ο Kun δεν ήταν σε σύγχυση και απαρίθμησε 5 λόγους για τους οποίους τα μαθηματικά είναι σημαντικά.

1. Τα μαθηματικά μας διδάσκουν να παραδεχόμαστε όταν κάνουμε κάποιο λάθος και όχι μόνο να το παραδεχόμαστε , αλλά και να προχωράμε για να λύσουμε το πρόβλημα.

Για παράδειγμα, ο Χάρης και ο Ρήγας στέκονται μπροστά από μια εξίσωση γραμμένη στον μαυροπίνακα. Ο Χάρης είναι σίγουρος ότι η εξίσωση είναι σωστή και ο Ρήγας ξέρει στα σίγουρα ότι η εξίσωση είναι λάθος. Την επόμενη ώρα αυτές οι απόψεις αλλάζουν. Ο Χάρης πιστεύει ότι η εξίσωση είναι λάθος, ενώ ο Ρήγας τον αποκαλεί ανόητο και τον ρωτάει τι εννοεί. Ακούγεται παράξενο, αλλά οι μαθηματικοί αντιμετωπίζουν τέτοιες καταστάσεις σχεδόν κάθε μέρα.

Ρωτήστε οποιοδήποτε δάσκαλο τι πρέπει να κάνετε αν το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί και η απάντηση θα είναι απλή: "Ξεκινήστε από την αρχή και προσπαθήστε να πάτε με έναν άλλο τρόπο. Και μην ανησυχείτε για το λάθος που κάνατε, επειδή ήταν το πράγμα που τελικά σας έδειξε το σωστό δρόμο.».

2. Η ακρίβεια είναι η ευγένεια των μαθηματικών. 

Αυτήν τη δήλωση είναι πραγματικά δύσκολο να την υποστηρίξει κανείς, επειδή κάθε μαθηματικός όρος έχει έναν ακριβή και σαφή ορισμό.

Θυμηθείτε τους δασκάλους που μας έβαζαν να μάθουμε απ'έξω κάθε ορισμό γεωμετρικών σχημάτων ή για παράδειγμα, το Πυθαγόρειο θεώρημα. Δεν είχαμε καμία ιδέα για το πού και πότε θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη γνώση. Αλλά για σκεφτείτε, θα μπορούσατε να ονομάσετε κάτι που δεν έχει ακριβή ορισμό; Είστε σε θέση να απαντήσετε με ένα καρδιακό παλμό, τι είναι η ευτυχία ή η αγάπη; Οι απαντήσεις σας ταιριάζουν με εκείνες των πλησιέστερων και πιο αγαπητών σας προσώπων; 

3. Η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων είναι σαν μια παρτίδα σκάκι. 

Κάθε λάθος ή απρόσεκτη κίνηση μπορεί να προκαλέσει καταστροφικές συνέπειες.

Πόσο συχνά, όταν κάνετε ασκήσεις Άλγεβρας στο σπίτι σας, έχετε καταλήξει σε αδιέξοδο, επειδή βάζετε "μείον" αντί του "συν"; Ακόμη και το μικρότερο λάθος μπορεί να καταστρέψει τα πάντα και να γίνει ένα πραγματικό εμπόδιο στο δρόμο σας για την επίλυση του προβλήματος. Τα μαθηματικά διδάσκουν να είμαστε προσεκτικοί και υπεύθυνοι για αυτά που κάνουμε, δεν είναι μικρό πράγμα, έτσι δεν είναι;

4. «Αυτό που δηλώνω τώρα είναι ψευδές"

Αυτό είναι το πως ακούγεται το διάσημο "παράδοξο του ψεύτη". Είναι η καλύτερη περιγραφή του κάθε τι που συμβαίνει στη σύγχρονη επιστήμη..

Υπάρχουν πολλά θεωρήματα, κανόνες και αξιώματα που χρησιμοποιούνταν στο παρελθόν πιστεύοντας ότι είναι σωστά, αλλά αποδείχτηκε ότι δεν είναι. Και αυτό σημαίνει, ότι δεν θα πρέπει να εμπιστευόμαστε τυφλά ακόμα και τον πιο έγκυρη γνώμη μέχρι να το ελέγξουμε μόνοι μας. Οι επιστήμονες το αποκαλούν «εύλογο σκεπτικισμό», και τα μαθηματικά το διδάσκουν αυτό πολύ καλά.

5. Γιατί αν δεν λύσετε εσείς ένα πρόβλημα, κάποιος άλλος θα το κάνει σίγουρα. 

Γιατί λοιπόν να μην γίνετε εσείς οι πρώτοι;

Διαβάστε Περισσότερα »

Ο μαθηματικός καλλιτέχνης του χιονιού!

Εκπληκτικά έργα τέχνης πάνω στο χιόνι εμπνευσμένα κυρίως από τα μαθηματικά.

Εδώ και μία δεκαετία ο Simon Beck διακοσμεί τις Άλπεις φτιάχνοντας μοναδικά σχέδια στο χιόνι εμπνευσμένα κυρίως από τα μαθηματικά.

Για κάθε ένα από αυτά τα σχέδια χρειάζεται περίπου 11 ώρες. Κάθε χειμώνα φτιάχνει περίπου 30 σχέδια στο βόρειο ημισφαίριο, κυρίως στις Άλπεις.

Το όλο εγχείρημα ξεκίνησε για πλάκα πριν δέκα χρόνια και πλέον είναι η κύρια ασχολία του. «Όταν έχεις ένα λευκό χαρτί, θέλεις να ζωγραφίσεις κάτι. Οπότε, το να σχεδιάσω στο χιόνι φαινόταν σαν κάτι φυσικό».

Ο Simon φορά παπούτσια για χιόνι και δημιουργεί το «μονοπάτι» με αυτά. Δεν μπορεί να βγει έξω από αυτό, γιατί θα χαλάσει το σχέδιο. Στη συνέχεια φωτογραφίζει τις δημιουργίες του και βγάζει χρήματα πουλώντας αντίτυπα υψηλής ανάλυσης.

Πηγή

Διαβάστε Περισσότερα »

Πως να κόψετε μια πίτσα σε ίσα μέρη

Υπάρχει πιο απογοητευτικό θέαμα από ένα κακό κομμάτιασμα πίτσας, μια δαγκωνιά με δυσανάλογη ποσότητα μανιταριών κι ένα κομμάτι με πολλή κρούστα ή ελάχιστο πεπερόνι; Τα παραπάνω, μας κάνουν πολλές φορές να μαλώνουμε με αυτόν/ή που τρώμε παρέα μια πίτσα, επειδή νομίζουμε ότι «κλέβει».

Ωστόσο, αυτή η απογοήτευση που προκαλείται από το άνισο κομμάτιασμα μιας πίτσας ίσως, σύντομα, να αποτελεί παρελθόν. Δύο μαθηματικοί έχουν καταλήξει σε μια νέα μέθοδο κοπής της πίτσας, που λένε ότι μπορεί να οδηγήσει σε απεριόριστες ίσες φέτες.

Όπως αναφέρει το New Scientist, οι Joel Haddley και Stephen Worsley από το Πανεπιστήμιο του Λίβερπουλ, έχουν αναπτύξει ένα σύστημα κοπής πίτσας σε 12 πανομοιότυπες φέτες, γνωστό ως «monohedral disk tilling». Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχει όριο στον αριθμό των ίσων κομματιών που μπορεί να κοπεί μια πίτσα.

Έχουν όλα να κάνουν με τη γεωμετρία. Γενικεύοντας την τεχνική τους, οι Haddley και Worsley έκοψαν την πίτσα σε καμπυλωτά κομμάτια με μονό αριθμό πλευρών/κομμάτι - τρία, πέντε, επτά. Και κάθε ένα από αυτά τα κομμάτια μπορεί να «σπάσει» σε δύο, με τη σειρά του, άπειρες φορές.

Το διάγραμμα των Joel Haddley και Stephen Worsley για τον τεμαχισμό πίτσας.

Ο Haddley σημείωσε ότι «δεν υπάρχει, απολύτως, κάποιο όριο» σε ό,τι αφορά τον αριθμό των φετών πίτσας που μπορούν να δημιουργηθούν με τη χρήση αυτής της μεθόδου. Μπορεί να είναι δύσκολο, όμως, να προχωρήσουμε πιο πέρα από ένα εννιάγωνο κομμάτι.

Ο μαθηματικός, μάλιστα, προχώρησε λίγο ακόμα, δοκιμάζοντας τη θεωρία του σε μια πραγματική πίτσα.

Παρά την ανακάλυψή του, όμως, ο Haddley δεν φαίνεται αισιόδοξος για τις χρήσεις της θεωρίας του πέραν της πίτσας αυτής καθαυτής. «Δεν έχω ιδέα αν υπάρχει εφαρμογή της θεωρίας μας σε άλλα πράγματα, πέραν της κοπής της πίτσας», είπε.

Αν σας άρεσε το άρθρο με την pizza δείτε κι αυτό

Διαβάστε Περισσότερα »

Το τρολάρισμα των μαθηματικών και τα λάθη των αριθμομηχανών

Με αφορμή το post της φίλης Κατερίνας στο facebook και μια συζήτηση που αναπτύχθηκε σκέφτηκα να γράψω αυτό το αρθράκι.

Συχνά κυκλοφορούν στο internet τέτοια "μαγικά" ζητήματα περί μαθηματικών γρίφων, λαθών, παραδόξων κτλ. Στην πραγματικότητα είναι απλά μαθηματικά που δεν θα έπρεπε καν να απασχολούν τον κόσμο. Για να μπερδεύετε όμως όλος αυτός ο κόσμος, μάλλον κάτι λάθος κάνουμε εμείς οι μαθηματικοί που αφήνουμε τον κόσμο να αμφιταλαντεύεται για τόσο απλά ζητήματα.

Στην παραπάνω εικόνα βλέπετε ένα "δυσεπίλυτο ζήτημα" (αν είναι δυνατόν).

Τα μαθηματικά έχουν απλούς ΚΑΝΟΝΕΣ, οι οποίοι δε χρίζουν αμφισβήτησης από κανέναν. Είναι απλά ΚΑΝΟΝΕΣ. Ισχύουν είτε θέλουμε, είτε δεν θέλουμε, καθώς στα μαθηματικά φροντίζουμε να είναι κάθε τι ΚΑΛΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ.

Με ένα απλό γκουγκλάρισμα (sic) μπορούμε να δούμε όσοι ξεπεράσαμε την Α' Γυμνασίου ότι 

"Η προτεραιότητα τέλεσης των πράξεων, όπως χρησιμοποιείται στα μαθηματικά και σε πολλές από τις γλώσσες προγραμματισμού είναι:

1. εκφράσεις μέσα σε παρενθέσεις
2. δυνάμεις και ρίζες
3. πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται στην έκφραση, αριστερά προς δεξιά)
4. προσθέσεις και αφαιρέσεις (με τη σειρά που εμφανίζονται στην έκφραση, αριστερά προς δεξιά)"

Συνεπώς στο πρόβλημα που ταρακούνησε το facebook των φίλων μου είναι πάρα πολύ απλά τα πράγματα καθώς έχουμε

6:2*(1+2)=                                                                                     - πράξεις στην παρένθεση -

6:2*3=                                                                                           -  διαίρεση 6:2=3                 -

3*3=                                                                                              - πολλαπλασιασμός 3*3=9 -

9

Προφανώς, ούτε το google κάνει λάθος, ούτε το excel κάνει λάθος, ούτε εγώ ο απόγονος του Cantor (είπα και μια βλακεία για να περάσει η ώρα) κάνω λάθος.

Καλώς ή κακώς τα μαθηματικά θέλουν φαντασία και τεχνικές, ΑΛΛΑ αυτό δε σημαίνει ότι μπορούμε να αγνοούμε τους κανόνες, τα θεωρήματα, τα αξιώματα και ότι άλλο ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ.

Επίσης σε μια τόσο απλή αριθμητική παράσταση δεν μπορούμε να έχουμε δυο αποτελέσματα.

Μην πέφτετε στην παγίδα των διαφόρων troll, που δημιουργούν ιστορίες για αγρίους. (Λάμπρο Μαγκλάρα αν με διαβάζεις το Πυθαγόρειο ισχύει).

Το παραπάνω ποσταρισματάκι μου έχει καθαρά διασκεδαστικό και επιμορφωτικό χαρακτήρα.

Υ.γ. Oρφέα, Δανάη, Φώτη, Δημήτρη, Σωτήρη, Δημήτρη,  μπορείτε να ζητήσετε ένα δώρο από τις μαμάδες σας για το λάθος που έκαναν...ή μήπως να μην τις αφήσετε να βγουνε το Σάββατο καθώς δεν διαβάζουν?

Διαβάστε Περισσότερα »

Βρες σύζυγο με βάση τα μαθηματικά!

Μπορώ να φανταστώ διάφορες δύσπιστες σκέψεις που κάνατε καθώς ανοίγατε το άρθρο. Όπως ότι το να παίρνουμε ερωτικές συμβουλές από μαθηματικούς είναι ανόητο, μιας και άνθρωποι που τη βρίσκουν με φανταστικούς αριθμούς, κατά πάσα πιθανότητα, παντρεύτηκαν την πρώτη με την οποία έκαναν σεξ. Εντάξει, ίσως δεν είναι καταπληκτικοί εραστές όπως οι φυσικοί, που έχουν πάθος για μαύρες τρύπες και το σημαντικό γράμμα G (φυσικά και είναι η σταθερά παγκόσμιας έλξης) αλλά ας μην τους αδικούμε. Οι μαθηματικοί είναι μια χαρά άνθρωποι, με πολλά ενδιαφέροντα (βεβαίως, όλα σχετίζονται με τα μαθηματικά) και άλλωστε η δουλειά τους δεν είναι να κάνουν πράξη κάθε θεωρία, αλλά να μας λένε τι είναι δυνατό ή πόσο πιθανό.

Ίσως, επίσης, σκεφτήκατε ότι η ζωή και οι ανθρώπινες σχέσεις είναι πολύπλοκες και κανένας ψυχρός αριθμός δεν μπορεί να τις περιγράψει. Φυσικά και συμφωνώ με το ότι η ζωή είναι πολύπλοκη και πολυπαραμετρική, αλλά και πάλι θα σου πω διάβασε τη στρατηγική και εφάρμοσέ την στην αγορά παπουτσιών, αν θες.

Τι μας είπαν, λοιπόν, οι μαθηματικοί για το θέμα των πολλών επιλογών και βέλτιστης απόφασης; (συγκεκριμένα οι John Gilbert και Frederick Mosteller του πανεπιστημίου Harvard, σε μια εργασία τους που δημοσιεύτηκε στο Journal of the American Statistical Association το 1966)

Φανταστείτε ότι έχετε 100 κάρτες με ένα νούμερο πάνω στην καθεμιά και όλες είναι γυρισμένες ώστε να μη βλέπετε τα νούμερα. Σκοπός σας είναι να επιλέξετε την κάρτα με τον μεγαλύτερο αριθμό. Ο κανόνας όμως λέει ότι κάθε κάρτα που κοιτάτε ή θα είναι αυτή την οποία θα κρατήσετε ή θα την απορρίψετε για να πάτε στην επόμενη, χωρίς όμως να μπορείτε να γυρίσετε πίσω σε αυτή. Σαν να λέμε ή τον κρατάς και τον παντρεύεσαι αυτόν που έχεις τώρα ή πας στον επόμενο χωρίς να μπορείς να τα ξαναβρείς με αυτόν που χώρισες. Θες εσύ να εφαρμόσεις τη στρατηγική αυτή σε μια αγορά σπιτιού ή παπουτσιών; ΟΚ, το ίδιο ισχύει και σε αυτές τις περιπτώσεις. Ή αγοράζεις και τέλος ή πας παρακάτω, αλλά το σπίτι αυτό ή τα παπούτσια τα πήρε άλλη και δεν τα ξαναβρίσκεις.

«Ε, τι να κάνουμε, πες μας, μας έσκασες!» φαντάζομαι να σκέφτεστε σε αυτό το σημείο...

Λοιπόν, οι μαθηματικοί, μας λένε ότι το μαγικό νούμερο είναι το 37%. Αυτό το 37 βγαίνει από τη διαίρεση του 100 με το e, τη βάση του φυσικού λογάριθμου που είναι περίπου 2,72. Καλά, μην τρελαίνεστε ακόμα... δεν χρειάζεται να γνωρίζετε τι σημαίνει φυσικός λογάριθμος. Εσείς κρατήστε το 37% ή το 2,72 με το οποίο θα διαιρείτε τον αριθμό επιλογών σας.

Δηλαδή από 100 κάρτες, ανοίγουμε και απορρίπτουμε 37 (αυτό είναι το δείγμα μας) και μετά επιλέγουμε και κρατάμε την πρώτη κάρτα που θα ανοίξουμε και θα είναι μεγαλύτερη από όσες είδαμε ως τώρα. Αυτό μας δίνει πιθανότητα 37% να έχουμε κρατήσει τη μεγαλύτερη κάρτα. Μην ξενερώνεις με το 37% που σου φαίνεται μικρό... μαθηματικά δεν υπάρχει στρατηγική που να δίνει μεγαλύτερες πιθανότητες.

Εννοείται πως μπορείς να εφαρμόσεις αυτή τη μαθηματική στρατηγική σε οποιονδήποτε αριθμό επιλογών. Αν θεωρείς ότι έχεις 9 επιλογές, τότε βγες και γνώρισε 3 άντρες, απέρριψέ τους και μετά κράτα τον πρώτο που θα βρεις, ο οποίος θα 'ναι καλύτερος από τους προηγούμενους. Αν έχεις να επιλέξεις ανάμεσα σε 20 σπίτια τότε δες τα πρώτα 7 και μετά κράτα το επόμενο που θα θεωρήσεις καλύτερο. Φυσικά, αν μπορείς να τα δεις όλα και να πας πίσω και να διαλέξεις όποιο θες, τότε δεν έχει νόημα για σένα η στρατηγική αυτή. Αν όμως έχεις συγκεκριμένο αριθμό επιλογών και πρέπει να φτιάξεις μια στρατηγική, τότε αυτή είναι η (μαθηματικά) καλύτερη.

Αναρωτιέμαι αν αυτή η στρατηγική έχει περάσει εξελικτικά στη συμπεριφορά των γυναικών (γιατί, ποιος νομίζεις ότι κάνει την επιλογή;) και την εφαρμόζουν υποσυνείδητα. Δηλαδή, αν αυτό που λένε πάρα πολλές ότι έχουν πάει μόνο με τρεις άντρες πριν από σένα σημαίνει ότι είχαν λιγότερες από δέκα επιλογές... στην επαρχία, ίσως. Στην πόλη, όμως, είναι αλλιώς και οι όλοι έχουν πολλές παραπάνω επιλογές που κάνουν τα πράγματα ακόμα πιο δύσκολα αντί για εύκολα μάλλον. Εν πάση περιπτώσει, όποτε και με όποιον τρόπο ή κριτήριο βρείτε το άλλο σας μισό, ελπίζω να ευτυχήσετε. Και όταν έρθει η ώρα να ψάξετε για νυφικό ή φόρεμα για το δημαρχείο, τότε θα ξέρετε πόσα πρέπει να δείτε προτού διαλέξετε.

protagon.gr

Διαβάστε Περισσότερα »