Από ένα βράχο μιας απόκρημνης ακτής αφήνεται ένα κουκουνάρι

Από ένα ψηλό βράχο μιας απόκρημνης ακτής, και από ύψος h =80m αφήνεται την χρονική στιγμή t =0s , να πέσει ελεύθερα ένα κουκουνάρι.

1) Ποια χρονική στιγμή t₁ φτάνει το κουκουνάρι στην επιφάνεια της θάλασσας και με πόση ταχύτητα U₁; ( Αντίσταση του αέρα ασήμαντη g=10m/s²)

Φτάνοντας στο νερό και στην είσοδό του σ’ αυτό χάνει λόγω αντίστασης από το νερό, κάμποση κινητική ενέργεια. Έτσι στη συνέχεια προχωρεί στο νερό με ταχύτητα U₂ ίση με τα 3/4 της ταχύτητας U₁ που είχε πριν μπει στο νερό.

2) Πόση η επιτάχυνση της κίνησής του στο νερό, αν δεχτούμε ότι δέχεται σταθερή αντίσταση και άνωση μαζί Α ίση με το μισό του βάρους του Β

3) Ποια χρονική στιγμή t₂ φτάνει το κουκουνάρι στον πυθμένα, αν το βάθος της θάλασσας είναι  Η = 70m; Δεχόμαστε ότι το κουκουνάρι πέρασε  από τον αέρα στο νερό ακαριαία.    

4) Με πόση ταχύτητα U₃ χτυπάει το κουκουνάρι στον πυθμένα;

5) Να υπολογισθεί η ταχύτητα του κουκουναριού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s, 3s, …  κλπ μέχρις ότου χτυπήσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου (u – t)

Τι παρατηρείτε στην κλίση των δυο γραμμών στο διάγραμμα u –t ;

6) Να βρεθεί η θέση x  του κινητού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s,  3s, … κλπ μέχρις ότου φθάσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα θέσης – χρόνου (x-t)

ΛΥΣΗ

1) Ποια χρονική στιγμή t₁ φτάνει το κουκουνάρι στην επιφάνεια της θάλασσας και με πόση ταχύτητα U₁; (g=10m/s2)

 Η κίνηση είναι ελεύθερη πτώση. Από την εξίσωση h = 1/2 g t² ,  προκύπτει ότι την χρονική στιγμή t₁ = 4 s φτάνει στην θάλασσα.

U_{1 =} g t_{1 =} 40 m/s

Φτάνοντας στο νερό και στην είσοδό του σ’ αυτό χάνει λόγω αντίστασης από το νερό, κάμποση κινητική ενέργεια. Έτσι στη συνέχεια προχωρεί στο νερό με ταχύτητα U₂ ίση με τα 3/4 της ταχύτητας U₁ που είχε πριν μπει στο νερό.

2) Πόση η επιτάχυνση της κίνησής του στο νερό, αν δεχτούμε ότι δέχεται σταθερή αντίσταση και άνωση μαζί, Α ίση με το μισό του βάρους του Β

(B-A =m a) --- (Β/2 = m a) --- (a = g/2)  = 5 m/s²

3) Ποια χρονική στιγμή t₂ φτάνει το κουκουνάρι στον πυθμένα, αν το βάθος της θάλασσας είναι  Η = 70m; Δεχόμαστε ότι το κουκουνάρι πέρασε  από τον αέρα στο νερό ακαριαία.    

Η κίνηση στο νερό είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση a=5m/s², αρχική ταχύτητα  U₂ = 3/4 U₁  = 30 m/s ,  ενώ θέλουμε να βρούμε σε πόσο χρόνο t =τ  θα διανύσει απόσταση (μετατόπιση) Η =70m.

Από την εξίσωση Η = U₂ t + ½ a t²    προκύπτει, λύνοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση, ως προς t

  ( 70 = 30 t +2,5 t² ) ή (5t² + 60t –140 =0) ότι σε χρόνο t = 2 s  από τότε που μπήκε στο νερό, θα χτυπήσει στον πυθμένα, δηλαδή την χρονική στιγμή  t₂ = 6 s από τότε που ξεκίνησε από την κορυφή του βράχου. 

4) Με πόση ταχύτητα U₃ χτυπάει το κουκουνάρι στον πυθμένα;

    U₃ = U₂ + a t = 30 + 5x2 = 40 m/s

5) Να υπολογισθεί η ταχύτητα του κουκουναριού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s, 3s  κλπ, μέχρις ότου χτυπήσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου (u – t)

6) Να βρεθεί η θέση x  του κινητού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s,  3s, … κλπ,  μέχρις ότου φθάσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα θέσης – χρόνου (x-t)

 H άσκηση σε pdf  ΕΔΩ   σε φύλλα εργασίας ΕΔΩ