Αναλύοντας το χάος

Το πρωινό της 27ης Μαρτίου βρήκε τον Yakov Sinai, διαπρεπή καθηγητή του Πρίνστον στον τομέα της Μαθηματικής Φυσικής πλουσιότερο κατά 0.99 εκ. δολάρια, λίγο λιγότερα δηλαδή από το $1 εκ., γεγονός που προφανώς αποδίδεται στην τρέχουσα συναλλαγματική ισοτιμία της Νορβηγικής κορώνας έναντι του δολαρίου και όχι στη τσιγκουνιά της Νορβηγικής κυβέρνησης για το μη στρογγύλεμα του ποσού στο 1 εκ. Άλλωστε δεν θα υπήρχε και λόγος να το κάνει, μιας και ελέω πετρελαίου τα ταμεία της χώρας ουδέποτε σταμάτησαν να πηγαίνουν απ' το καλύτερο στο ...καλυτερότερο.

Η κυβέρνηση λοιπόν, αντιλαμβανόμενη το κενό που υπήρχε σχετικά με τη βράβευση επιφανών μαθηματικών, και θέλοντας να τιμήσει τον Νορβηγό Niels Henrik Abel (1802–1829), ιδιοφυή μαθηματικό, εισηγητή της αβελιανής θεωρίας ομάδων (Abelian Groups) και μιας σειράς άλλων καινοτομιών, αποφάσισε το 2002, στα 200 χρόνια από τη γέννησή του να θεσπίσει το ομόνυμο βραβείο, συνοδευόμενο μάλιστα από γενναίο χρηματικό ποσό, αντίστοιχο αυτού των βραβείων Nobel.

Για κάποιο περίεργο λόγο ο κ. Alfred Nobel, ενώ στη διαθήκη του το 1895 φρόντισε να θεσπίσει βραβεία για εξέχοντες δημιουργούς και ερευνητές από το χώρο της κουλτούρας και των επιστημών, συγκεκριμένα από τη Φυσική, Χημεία, Ιατρική, Λογοτεχνία και Ειρήνη, εν τούτοις οι μαθηματικοί δεν θεωρήθηκαν άξιοι λόγου για να συμπεριληφθούν στους ευεργέτες της ανθρωπότητας και να επιβραβευτούν. Το ίδιο και οι οικονομολόγοι, αν και το ατόπημα αυτό κάποιοι πίεσαν να διορθωθεί αρκετά αργότερα, το 1968. Παρά το γεγονός ότι οι οικονομολόγοι απέκτησαν το status του επιστήμονα με τη βοήθεια εξελιγμένων μαθηματικών εργαλείων, εν τούτοις οι δωρητές τους οι μαθηματικοί συνέχισαν να παραμένουν εκτός νυμφώνος.

Η αβλεψία αυτή διορθώθηκε αφ' ενός με το γενναιόδωρο βραβείο Abel, όπως είδαμε παραπάνω, αφ' ετέρου με το λιγότερο γενναιόδωρο, μόλις $15000, μετάλλιο Fields, ίσως διότι απευθυνόταν μεν σε εξέχοντες μαθηματικούς, μικρότερης ηλικίας δε.

Ο Yakov Sinai, ο φετινός παραλήπτης του βραβείου Abel, σύμφωνα με την ανακοίνωση της Νορβηγικής Ακαδημίας Επιστημών επιβραβεύτηκε για την πεντηκονταετή του συνεισφορά στη μαθηματική φυσική, στην εργοδική θεωρία, στη θεωρία πιθανοτήτων και στην εξερεύνηση των δυναμικών συστημάτων. Γεννημένος το 1935 στη Μόσχα, έλαβε το διδακτορικό του το 1963 από το πανεπιστήμιο της Μόσχας κάτω από την επίβλεψη του τιτανοτεράστιου Kolmogorov, ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα. Εργάστηκε ταυτόχρονα σαν καθηγητής στο ίδιο πανεπιστήμιο, και σαν ερευνητής στο περίφημο Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής Landau, της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Αυτά, μέχρι το 1993 οπότε και μεταπήδησε στην Αμερική, στο Πρίνστον, όπως συνέβαινε τότε, την εποχή της πτώσης της Σοβιετικής Ένωσης, με τους περισσότερους επιστήμονες του ανατολικού μπλοκ που δεν είχαν δελεαστεί από τα grants που μοίραζε αφειδώς ο Soros.

Δυναμικό, είναι κάθε σύστημα το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο βάσει ενός ορισμένου και σταθερού κανόνα. Γνωρίζοντας τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες των σωματιδίων που το αποτελούν, καθώς και τον κανόνα που μεταθέτει τα σωματίδια στο χώρο από τη μια χρονική στιγμή στην άλλη, μπορεί κανείς λύνοντας ένα σετ διαφορικών εξισώσεων να προβλέψει τη μελλοντική θέση και τις ιδιότητες του συστήματος. Οι μάντεις και οι προφήτες είχαν ανέκαθεν περίοπτη θέση στις ανθρώπινες κοινωνίες. Με τον καιρό τη θέση τους την πήραν οι επιστήμονες οι οποίοι μπορούσαν να δουν στο χρόνο τόσο μακριά, όσο η φύση των ίδιων των συστημάτων τους επέτρεπε να δουν. Κάποια συστήματα, τα ντετερμινιστικά, επιτρέπουν ακριβείς προβλέψεις, κάποια άλλα, τα χαοτικά, ανάλογα με το βαθμό της μη γραμμικής αλληλεπίδρασης των μεταβλητών τους, τις αποτρέπουν. Ένα χαοτικό σύστημα μπορεί να είναι είτε ντετερμινιστικό, είτε στοχαστικό.

Ο καιρός, για παράδειγμα, αποτελεί ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα, η πρόβλεψη του οποίου καθίσταται επισφαλής πέρα από ένα χρονικό ορίζοντα ολίγων ημερών. Αν και χαοτικό, περιγράφεται από καλοδιατυπωμένες εξισώσεις, χωρίς όμως ενσωματωμένη τυχαιότητα. Η αδυναμία μακροπρόθεσμης πρόβλεψης οφείλεται στην αδυναμία ακριβούς καθορισμού των αρχικών συνθηκών πίεσης και θερμοκρασίας. Μια ανεπαίσθητη διαφορά στις αρχικές τιμές μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς διαφορετικές εξελίξεις στο χρόνο, γεγονός που ουσιαστικά εξαλείφει την έννοια της πρόβλεψης.

Το πρόβλημα των τριών σωμάτων, όπως η περιγραφή της κίνησης του συστήματος Ήλιος-Γη-Σελήνη αποτελεί ένα ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα. Το ίδιο και η δυναμική εξέλιξη ενός πληθυσμού. Το πού θα σταθεροποιηθεί ο πληθυσμός εξαρτάται από το ρυθμό αναπαραγωγής. Πέραν μιας τιμής κάθε πρόβλεψη καθίσταται αδύνατη.

Από την άλλη, έχουμε τα στοχαστικά δυναμικά συστήματα τα οποία εξελίσσονται υπό την επίδραση θορύβου, δηλαδή τυχαίων διακυμάνσεων ενός πολύ μεγάλου αριθμού εξωτερικών μεταβλητών. Η επίδραση των τυχαίων κινήσεων των μορίων του νερού στη δυναμική εξέλιξη μιας πρωτείνης μπορεί να εκληφθεί σαν θόρυβος.

Η εισαγωγή της έννοιας της εντροπίας Kolmogorov-Sinai ήταν καθοριστική για τη διερεύνηση και κατάταξη των δυναμικών συστημάτων αναλόγως του βαθμού αβεβαιότητας στη μελλοντική τους εξέλιξη. Όσο μεγαλύτερη η εντροπία, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα. Οι μελέτες και τα μαθηματικά εργαλεία που ανέπτυξε όλα αυτά τα χρόνια κάλυψαν όλο το φάσμα, από τα αρχετυπικά ως τα πραγματικά χαοτικά συστήματα, από τους τυχαίους περιπάτους, ως την τυρβώδη ροή, από τις μεταβολές φάσης ώς τη μελέτη των μπιλιάρδων για την κατανόηση της χαοτικής συμπεριφοράς των πραγματικών και ιδανικών αερίων.

Παρά την ηλικία του, ο Sinai είναι ακόμα ακμαίος και ενεργός, συνεχίζοντας να διδάσκει, να εκπαιδεύει και να εξερευνεί σε βάθος τον πολύπλοκο κόσμο που μάς περιβάλει.

Αφέλεια ή Κοροϊδία;

Περί μεταφυσικής και πάλι το ανάγνωσμα! Η Γερμανία συνεχίζει να εμμένει πεισματικά στη δημοσιονομική περιστολή και στη λιτότητα των εργαζόμενων στρωμάτων. Η πολιτική αυτή έχει καταποντίσει ήδη τις αδύναμες οικονομίες, ενώ η αρρώστια της ύφεσης μεταδίδεται και στις μέχρι πρότινος λεγόμενες υγιείς οικονομίες της ΕΖ. Απόδειξη η επικείμενη υποβάθμισή της από την S&P. Εκ παραλλήλου ανησυχούν και η ΗΠΑ, ενώ ο ιός έχει μεταδοθεί και στη μακρινή Αυστραλία, γεγονός που έκανε μέχρι και τον ΠΟΥ να βγει μπροστά και να ζητάει εμβόλια.

Δεν υπάρχει καμιά δικαιολογία για να συνεχίζεται αυτή η πολιτική. Αυτό λέει φωναχτά η πραγματικότητα, αυτό λένε οι δείκτες, αυτό λένε οι τραπεζίτες, και οι fund-manager-άδες, αυτό λένε οι άνεργοι και οι εργαζόμενοι, αυτό λένε οι οικονομολόγοι, κεϋνσιανοί, νεο-κεϋνσιανοί, κλασσικοί και νεο-κλασσικοί, αυτό λένε όλοι, ακόμη και οι αρειανοί.

Δεν υπάρχει, καμιά επίσημη δικαιολογία εκ μέρους της Γερμανίας, παρά μονάχα μία. Ότι τα μέτρα αυτά μπορεί να μην αποδίδουν τώρα αλλά θα αποδώσουν εις το μέλλον. Αυτό διατείνονται και οι οικονομολόγοι του Διεθνούς Ταμείου, όπως τους άκουγα εχθές να μελλοντολογούν στο youtube. Πόσο όμως μακριά; Όταν το μέλλον το βλέπεις να ‘ναι κοντινό, δεν το ονομάζεις «μέλλον», αλλά το προσδιορίζεις κάπως πιο συγκεκριμένα, σε ένα, ας πούμε χρόνια, σε δυο, σε τρία, άντε σε τέσσερα. «Μέλλον», έτσι στα σκέτα, όμως σημαίνει κάτι πολύ μακρινό, ακαθόριστο και απροσδιόριστο.

Και δυστυχώς αυτή είναι και η αλήθεια. Αν μπορούσαν να το προσδιορίσουν θα το προσδιόριζαν. Μα δεν μπορούν, δεν το επιτρέπει η φύση του προβλήματος. Στα προβλήματα πολλών μεταβλητών με ποικίλες και πολλαπλές αλληλεπιδράσεις και αναδράσεις, δεν εξαφανίζεται μόνο η προβλεψιμότητα αλλά και η «μνήμη» του αιτίου που προκάλεσε ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα. Αυτά τα δυο δε, πηγαίνουνε μαζί παρέα. Όσο περισσότερο στο χρόνο διατηρείται η μνήμη του αρχικού αιτίου, τόσο μεγαλώνει ή επιμηκύνεται στο χρόνο και η προβλεψιμότητα. Διατηρείται, όπως λέγεται η συσχέτιση. Στα χαοτικά φαινόμενα η συσχέτιση χάνεται σχεδόν αμέσως, ώστε να μην μπορείς να πεις στο τέλος τι προκάλεσε μια δεδομένη συμπεριφορά.

Η Μέρκελ σαν θεωρητικός χημικός θα πρέπει αυτό να το γνωρίζει. Η οικονομία κάποια στιγμή θα ανακάμψει. Κάποια στιγμή θα αρχίσουν οι δείκτες να παίρνουν την ανάποδη φορά. Αυτό είναι το μόνο σίγουρο. Πότε; Κάποια στιγμή, στο μέλλον! Και τότε θα έρθουν και θα πουν, «κοιτάξτε, είδατε τα μέτρα που τόσο σας ταλαιπώρησαν, ότι τώρα ήρθαν και έπιασαν τόπο; Είδατε που είχαμε δίκαιο;». Μόνο που θα έχει περάσει τόσος καιρός, που κάθε συσχέτιση θα έχει νομοτελειακά χαθεί.

Άρα δυο τινά μπορούν να συμβαίνουν. Είτε η Μέρκελ ξέχασε όσα είχε μάθει πριν ασχοληθεί με την πολιτική ή συνειδητά μάς κοροϊδεύει.

Η Αναπαραγωγή των Κονίκλων και ο Δρόμος προς το ΧΑΟΣ

-ΕΙΔΙΚΗ ΠΑΣΧΑΛΙΝΗ ΕΚΔΟΣΗ-

Το Χάος, έχει εισχωρήσει για τα καλά στο καθημερινό λεξιλόγιο εσχάτως, όχι όμως με τον τρόπο που γινόταν ανέκαθεν, δηλαδή σαν ένδειξη μιας καθολικής ακαταστασίας, αλλά έχοντας φιλοδοξίες σαφώς μεγαλύτερες, εισβάλλει σαν έννοια πλέον, που με υπερτονισμένο το μαθηματικό/φυσικό της υπόβαθρο διεκδικεί ταυτόχρονα και την ερμηνεία, πέρα από την απλή ονομασία ή περιγραφή, μιας οποιασδήποτε πολύπλοκης πραγματικότητας. Φυσικά κουτσή.

Δε λέω, είναι μια πολύ πιασάρικη λέξη που, [μιας και την ουσία της, από αυτούς που την κακοποιούν στα γενικά ακροατήρια, ουδείς σχεδόν κατανοεί], αποτελεί ένα βολικό super-duper πασπαρτού για την εξήγηση των πιο αλλόκοτων και δυσνόητων φαινομένων, δια της εφαρμογής της ομοιοπαθητικής μεθόδου: ερμηνεία του ακατανόητου μέσω μιας εξ ίσου ακατανόητης μεθόδου.

Σήμερα όμως σκοπεύω να διαλύσω αυτές τις τόσο βολικές ομίχλες και να αφηγηθώ ένα πολύ απλό σενάριο το οποίο περιέχει αρκετά από τα βασικά συστατικά στοιχεία της θεωρίας του Χάους, και το οποίο προέρχεται από την ζωή των κουνελιών, δηλαδή από τον θαυμαστό και πολύ περίεργο τρόπο με τον οποίον αναπαράγονται.


Η Δημογραφική Εξίσωση (LOGISTIC MAP)

Ας ξεκινήσουμε από την παρακάτω πολύ απλή εξίσωση

όπου οι μεταβλητές

xn και xn+1
δηλώνουν τους κουνελο-πληθυσμούς κατά τους χρόνους n και n+1, αντίστοιχα, και τους οποίους για χάριν ευκολίας, ας υποθέσουμε ότι παίρνουν τιμές μόνο μεταξύ 0 και 1.

r
είναι ένα θετικός πραγματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, δηλαδή, τον αριθμό κουνελιών ανά έτος.

Η εξίσωση αυτή, (γνωστή και σαν δημογραφική εξίσωση), μας δείχνει ότι ο πληθυσμός των κουνελιών κατά τον χρόνο (n+1), που αναπαρίσταται στο αριστερό μέλος της εξίσωσης ως (xn+1), εξαρτάται

1) από τον πληθυσμό κατά τον προηγούμενο χρόνο (xn),

2) από τον ρυθμό αναπαραγωγής τους, (r), αλλά και

3) από έναν παράγοντα (1-xn), που δηλώνει την ελάττωση που επέρχεται στον optimum αριθμό των κουνελιών που μπορεί να εκθρέψει το δεδομένο περιβάλλον, (και είναι ίσος με 1), λόγω προκύπτοντος υπερπληθυσμού.

Έτσι,
για να βρούμε τον αριθμό των κουνελιών τον πρώτο χρόνο n=1, δίνουμε μια αυθαίρετη τιμή (πάντα ανάμεσα στο 0 και το 1) στον αρχικό πληθυσμό, (x0), κατά τον χρόνο n=0. Έστω 0.3. Υποθέτουμε, επίσης, μια τιμή θετική για τον ρυθμό αναπαραγωγής r, (ανάμεσα στο 0 και το 4 όπως θα δούμε παρακάτω) και υπολογίζουμε με ένα pocket calculator την παράσταση που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης. Ό,τι προκύψει για τον πληθυσμό στον πρώτο χρόνο, το αντικαθιστούμε πίσω στο δεξί μέλος, στο xn, και κάνοντας τις πράξεις με το ίδιο r, παίρνουμε τον πληθυσμό κατά τον δεύτερο χρόνο. Αυτό επαναλαμβάνεται αρκετές φορές μέχρι ότου ο τελικός πληθυσμός σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, έτσι ώστε με μια επί πλέον επανάληψη, δηλαδή την επόμενη χρονιά, ο πληθυσμός να μην αλλάζει. Ή να σταθεροποιείται σε ένα σύνολο τιμών που τις επόμενες χρονιές να παραμένουν οι ίδιες.

Η έκπληξη είναι ότι, (και εδώ μπαίνουμε στα χωράφια του Χάους), ο πληθυσμός των κουνελιών μετά από πολλές επαναλήψεις, μπορεί να σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, μπορεί σε 2, μπορεί σε 4 , ή σε 1024 ή σε οποιαδήποτε απρόβλεπτη τιμή ανάλογα με την τιμή της μεταβλητής r, δηλαδή ανάλογα με τον ρυθμό αναπαραγωγής και μόνο, και ανεξάρτητα από την υπόθεση που κάναμε για τον αρχικό πληθυσμό εκκίνησης, x0.

ΟΛΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΙΜΗ ΤΟΥ r, ΤΟΥ ΡΥΘΜΟΥ ΑΝΑΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Αν τοποθετήσουμε σε ένα διάγραμμα τις τιμές του r στον άξονα των x και τους τελικούς πληθυσμούς στον άξονα των y, τότε προκύπτει το πολύ πολύπλοκο διάγραμμα της επόμενης εικόνας, που ονομάζεται BIFURCATION diagram και το οποίο είναι ένα ακριβές αποτύπωμα της αναπαραγωγικής ή και σεξουαλικής συμπεριφοράς των συμπαθών τετραπόδων.

Έτσι, αν ο ρυθμός αναπαραγωγής r, είναι

1. ανάμεσα στο 0 και το 1, τότε μετά από μερικά χρόνια δεν θα έχει μείνει κανένα κουνέλι στο κοτέτσι.

2. ανάμεσα στο 1 και το 2, τότε ο πληθυσμός γρήγορα θα σταθεροποιηθεί σε μια τιμή, την (r-1)/r, ανεξάρτητα πάντα από τον αρχικό πληθυσμό. Δηλαδή ο κουνελοπληθυσμός είναι προβλέψιμος.

3. ανάμεσα στο 2 και το 3 τότε ο πληθυσμός θα σταθεροποιηθεί μετά από κάποιες αρχικές ταλαντώσεις στην τιμή (r-1)/r, όπως και προηγουμένως, ενώ για το r=3 η σύγκλιση είναι πάρα πολύ αργή.

Ως εδώ ΔΕΝ παρατηρούμε κάποια ένδειξη Χάους. Οι πληθυσμοί είναι προβλέψιμοι. Τα πράγματα αρχίζουν να γίνονται ενδιαφέροντα όταν ο ρυθμός αναπαραγωγής αρχίσει να παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 3.

4. ανάμεσα στο 3 και το 3.449489 (στο περίπου), τότε μετά από κάμποσα χρόνια ο πληθυσμός των κουνελιών ταλαντώνεται σταθερά και προβλέψιμα ανάμεσα σε δύο τιμές, A και Β, εναλλάξ.

5. ανάμεσα στο 3.449489 και το 3.54 (στο περίπου), ο κουνελο-πληθυσμός μετά από χρόνια ταλαντώνεται ανάμεσα σε τέσσερεις διαδοχικές τιμές.

6. μεγαλύτερος του 3.54 ο πληθυσμός μπορεί να παίρνει μια από 8 πιθανές τιμές, για λίγο μεγαλύτερο r μπορεί να σταθεροποιείται σε μια από 16, ή 32, κ.ο.κ. τιμές. Το μήκος των διαστημάτων μεταβολής του r που δίνει τον ίδιο αριθμό πιθανών πληθυσμών, μικραίνει δραματικά, αλλά ο λόγος δυο διαδοχικών διαστημάτων είναι σταθερός, ίσος με δ=4.669, ονομάζεται σταθερά του Feigenbaum και θεωρείται μια από τις παγκόσμιες σταθερές.

Όλα αυτά συμβαίνουν εφ' όσον το r παίρνει τιμές μικρότερες του 3.57 (στο περίπου).

Η κατάσταση που μόλις περιγράψαμε και όπου για κάθε νέο διάστημα τιμών του r, διπλασιάζεται ο αριθμός των πιθανών τιμών στις οποίες μπορεί να σταθεροποιηθεί ο κουνελο-πληθυσμός, ονομάζεται period doubling cascade, και όταν παρατηρείται σε ένα δυναμικό σύστημα είναι σίγουρο ότι αυτό γρήγορα θα βρεί το δρόμο για το Χάος.

7. Το ΧΑΟΣ αρχίζει για r μεγαλύτερο του 3.57 όπου μια απειροελάχιστη μεταβολή του σε κάποιο δεκαδικό ψηφίο, επιφέρει δραματικές αλλαγές. Δηλαδή, το σύστημα μπορεί να κάτσει σε οποιαδήποτε τιμή, (ο αριθμός των κουνελιών μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή), η οποία θα είναι τελείως διαφορετική αν ο ρυθμός αναπαραγωγής μεταβληθεί κατά μια απειροελάχιστη ποσότητα, δηλαδή έστω και στο 15ο δεκαδικό ψηφίο, για παράδειγμα.

Εδώ φαίνεται αυτό που λέγεται για το Χάος, ότι δηλαδή, είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες.

8. Οι περισσότερες τιμές πέρα από το r=3.57 δίνουν απρόβλεπτη, ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά, δηλαδή κάθε επόμενη χρονιά ο πληθυσμός μπορεί να είναι ο οποιοσδήποτε. Παρ' όλα αυτά, υπάρχουν ακόμα κάποιες περιοχές τιμών όπου το σύστημα εμφανίζει ΜΗ-ΧΑΟΤΙΚΗ συμπεριφορά. Αυτές οι περιοχές αντιστοιχούν στις λευκές ταινίες στο διάγραμμα της προηγούμενης εικόνας και ονομάζονται νησίδες σταθερότητας (islands of stability).

Οι περιοχές αυτές δείχνουν καθαρά πώς μπορεί ένα σύστημα που συμπεριφέρεται εντελώς χαοτικά, για μια μικρή αλλαγή των αρχικών συνθηκών του να γίνει και πάλι κανονικό και εύτακτο. Δηλαδή οι πληθυσμοί να ταλαντώνονται ανάμεσα σε δυο, ή τρεις ή πέντε τιμές και να είναι προβλέψιμοι από χρονιά σε χρονιά.

Το μοντέλο σταματάει μέχρι το r=4. Για μεγαλύτερες τιμές το σύστημα αποκλίνει. Και δεν ασχολούμαστε πλέον.

Όλα όσα είπαμε από το 1-7, μπορείτε να τα αναγνωρίσετε στην παραπάνω εικόνα, η οποία παρεμπιπτόντως είναι fractal, διότι με αυτά που είπαμε σε μια προηγούμενη ανάρτηση αν κάνετε μια μεγέθυνση ενός κομματιού του διαγράμματος, η εικόνα που θα προκύψει θα είναι ακριβώς ίδια με αυτή που βλέπετε τώρα. Την ιδιότητα αυτή την ονομάσαμε Αυτο-ομοιότητα και όπως βλέπουμε εδώ χαρακτηρίζει όλα τα Χαοτικά συστήματα.

Τι μάθαμε λοιπόν ως εδώ;

Α) Η χαοτική συμπεριφορά, δηλαδή η παντελής έλλειψη προβλεψιμότητας στον τελικό πληθυσμό συμβαίνει μετά από έναν καταιγιστικό ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟ των πιθανών αποτελεσμάτων, period doubling). Δηλαδή από μια προβλέψιμη τιμή του πληθυσμού, πηγαίνουμε σε 2 δυνατές τιμές του πληθυσμού, μετά σε 4, μετά σε 16, 32, κ.ο.κ, όσο αυξάνει ο ρυθμός αναπαραγωγής.

Β) Υπάρχουν περιοχές τάξης (δηλαδή προβλεψιμότητας) μέσα σε καθαρά χαοτικές περιοχές,

Γ) Το bifurcation διάγραμμα που παίρνουμε έχει φρακταλική δομή (αυτο-ομοιότητα).

Δ) Το χάος είναι πολύ ευαίσθητο στις αρχικές συνθήκες, (ειδικά για r ανάμεσα στο 3.57 και το 4).

ΥΓ. Όλα τα παραπάνω μπορείτε να τα βρείτε στο:http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map